[논문 리뷰] Another approach to some rough and stochastic partial differential equations

Josef Teichmann|ArXiv.org|2009. 08. 19.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간 내에서의 불연속적이고 확률적인 편미분방정식(RPDEs/SPDEs)을 해결하기 위한 새로운 접근법인 '움직이는 기준좌표계 방법(moving frame method)'을 제안한다. 이 방법은 시간에 따라 변하는 변환을 적용하여 문제를 시간에 따라 변하는 불연속 미분방정식(RDE)으로 환원한다. 주요 기여는 일반적인 군 생성자와 리프시츠 조건 하에서 유일한 미약해가 존재함을 보이며, 이로 인해 불연속 경로 이론을 통해 고차수 수치적 스킴을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this note we introduce a new approach to rough and stochastic partial differential equations (RPDEs and SPDEs): we consider general Banach spaces as state spaces and -- for the sake of simiplicity -- finite dimensional sources of noise, either rough or stochastic. By means of a time-dependent transformation of state space and rough path theory we are able to construct unique solutions of the respective R- and SPDEs. As a consequence of our construction we can apply the pool of results of rough path theory, in particular we obtain strong and weak numerical schemes of high order converging to the solution process.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 바나흐 공간 내에서의 불연속적이고 확률적인 편미분방정식(RPDEs/SPDEs)에 대한 새로운 해이론을 개발한다.
• 시간에 따라 변하는 좌표계로 변환함으로써 SPDEs에서의 정규성과 적분 문제를 극복한다.
• 비유계 생성자와 비힐베르트 상태 공간을 가진 SPDEs에 대해 불연속 경로 이론의 적용 범위를 확장한다.
• 수익률 곡선에서 경제적으로 의미 있는 위상, 예를 들어 가중치가 부여된 W^{1,1} 또는 C_0 노름과의 호환성을 확보하는 프레임워크를 제공한다.
• 시간에 따라 변하는 RDE로의 환원을 통해 고차수 강한 및 약한 수치적 스킴을 가능하게 한다.

제안 방법

• 움직이는 기준좌표계로 불리는 시간에 따라 변하는 미분동형사상(diffeomorphism)을 적용하여 원래의 RPDE/SPDE를 시간에 따라 변하는 RDE로 변환한다. 이때 변환된 벡터장이 사용된다.
• 비유계 이동 연산자 A가 바나흐 공간 W 위에서 강한 연속 군을 생성한다고 가정하며, 이에 의해 생성된 흐름을 사용한다.
• 해는 Y_t = Fl_t(U_t)로 구성되며, 여기서 U_t는 변환된 RDE를 만족한다: dU_t = Σ_i DFl_{-t}f_i(Fl_t(U_t)) dX^i_t.
• 변환된 방정식은 불연속 경로 이론을 사용하여 해결되며, 이는 [0,T] × W 상에서 변환된 벡터장의 리프시츠 정규성에 기반한다.
• 이론의 보편적 극한 정리와(piecewise linear approximation의 수렴성)을 활용하여, 확률적 경우에서 스트라토노비치 유형 적분으로의 수렴을 확보한다.
• 수치적 스킴은 표준 불연속 경로 근사로부터 유도되며, Wong-Zakai 유형 수렴과 명시적인 수렴 속도를 가진 N-Euler 스킴을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스토케스틱 적분에 의존하지 않고 바나흐 공간 내 SPDEs에 대해 경로 기반 해 이론을 개발할 수 있는가?
• RQ2 무한차원에서 시간 반전 변환을 가능하게 하기 위해, 군의 생성자를 어떻게 처리할 수 있는가?
• RQ3 비유계 선형 연산자와 비힐베르트 상태 공간을 가진 SPDEs에 대해 불연속 경로 이론을 어느 정도 적용할 수 있는가?
• RQ4 이 방법을 통해 기하학적 노이즈와 비마르코프ian 구조를 가진 SPDEs에 대해 고차수 수치적 스킴을 얻을 수 있는가?
• RQ5 브라운 운동 노이즈의 경우 움직이는 기준좌표계 방법이 기존의 스트라토노비치 유형 해를 복원하는가?

주요 결과

• A가 바나흐 공간 W 위에서 강한 연속 군을 생성하고 f가 γ > 2인 Lip(γ) 조건을 만족할 경우, dY_t = AY_t dt + f(Y_t) dX_t 형태의 RPDE에 대해 유일한 미약해가 존재한다.
• 해 Y_t는 움직이는 기준좌표계 변환을 통해 Y_t = Fl_t(U_t)로 구성되며, 여기서 U_t는 변환된 벡터장을 가진 시간에 따라 변하는 RDE를 만족한다.
• 브라운 운동 노이즈의 경우 해는 스트라토노비치 적분 표현과 일치한다: l(Y_t) = l(P_t Y_0) + ∑_{i=0}^d ∫_0^t l(P_{t-s} f_i(Y_s)) ∘ dB^i_s.
• 브라운 운동의(piecewise linear approximation의 수렴성)이 불연속 경로 극한으로 수렴함으로써, 확률적 경우에서 해가 스트라토노비치 해와 일치함을 보장한다.
• N-Euler 근사와 Wong-Zakai 유형 수렴을 통해 p-변동 노름에서 명시적인 수렴 속도를 가진 고차수 강한 수치적 스킴을 도출할 수 있다.
• 구적 공식 기반의 약한 수치적 스킴이 확립되었으며, 알려진 수렴 속도를 가진다. 이는 가우시안 불연속 경로로까지 확장된다.