[논문 리뷰] Another state entanglement measure

O. A. Nagel, G. A. Raggio|ArXiv.org|2003. 06. 03.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 5인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 단위 C*-대수의 텐서곱 위의 양자 상태 ω에 대한 새로운 엔트랑글먼트 측도 E(ω)를 제안한다. 이 측도는 분해된 상태들과 그들의 곱 마진널 상태 간의 상대 엔트로피 합의 하한으로 정의된다. 이 측도는 핵심 물리적 성질을 만족한다: 분리 가능한 상태에서는 0이 되며, 국소적 연산에 대해 불변이며, 상대 엔트로피의 변분 표현을 통해 엔트랑글먼트 탐지에 대한 하한을 제공한다.

ABSTRACT

We propose a measure of state entanglement for states of the tensor-product of C*-algebras.

연구 동기 및 목표

• 복합 양자 시스템을 C*-대수로 묘사하는 데 적합한 물리적으로 의미 있는 엔트랑글먼트 측도를 정의하는 것.
• 측도가 국소적 *-동형사상에 대해 불변이고, 국소적 양자 연산과 고전적 통신(LQCC)에 대해 단조감소함을 보장하는 것.
• 엔트랑글먼트와 상태의 곱 마진널 상태에 대한 상대 엔트로피 간의 관계를 설정하는 것.
• 코사키의 상대 엔트로피 변분 공식을 이용해 엔트랑글먼트에 대한 계산 가능한 하한을 제공하는 것.
• 측도와 곱 상태들의 볼록 조합의 닫힘 사이의 관계를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 상대 엔트로피 S를 사용하여 E(ω) = inf_{[λ_j, ω_j] ∈ D_ω} ∑_j λ_j S(ω_j, ω_j^A ⊗ ω_j^B)로 엔트랑글먼트 측도를 정의한다.
• 특히 힐베르트 공간 위의 밀도 연산자에 대해 아라키의 상대 엔트로피 정의를 적용한다.
• α와 β가 *-동형사상일 때 E(ω∘(α⊗β)) = E(ω)임을 증명하여 국소 *-동형사상에 대한 불변성을 확립한다.
• 마진널화와 가환하는 샤워츠-양성인 연산 γ에 대해 E(ω∘γ) ≤ E(ω)임을 증명하여 LQCC 연산 하에서의 단조감소성을 입증한다.
• E(ω) = 0이 되는 것과 ω가 곱 상태들의 w*-닫힘 볼록 hull에 속하는 것 사이의 동치성을 특성화한다.
• 바리센터가 ω인 상태 공간 위의 라돈 측도에 대한 변분 표현을 사용하여 E(ω)를 하한으로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적 연산에 대해 불변이면서 물리적으로 의미 있는 새로운 엔트랑글먼트 측도를 정의할 수 있는가?
• RQ2 제안된 측도는 분리 가능한 상태, 즉 곱 상태들의 볼록 조합의 닫힘에 속하는 상태에서 정확히 0이 되는가?
• RQ3 코사키의 상대 엔트로피 변분 공식을 사용해 측도의 하한을 구할 수 있는가?
• RQ4 측도는 국소 양자 연산과 고전적 통신(LQCC)에 대해 단조감소하는가?
• RQ5 주어진 바리센터를 갖는 상태 공간 위의 확률 측도에 대한 하한으로 측도를 표현할 수 있는가?

주요 결과

• 측도는 0 ≤ E(ω) ≤ S(ω, ω^A ⊗ ω^B)를 만족하며, ω가 순수 상태일 경우 상한에 등호가 성립한다.
• E(ω) = 0이 되는 것은 ω가 곱 상태들의 w*-닫힘 볼록 hull에 속해 있을 때, 즉 ω가 분리 가능한 상태일 때에만 성립한다.
• 측도는 볼록이지만 아핀은 아니며, 국소 *-동형사상에 대해 불변이다.
• 모든 단위적, 연속적, 샤워츠-양성인 연산 γ가 마진널화와 가환할 경우, E(ω∘γ) ≤ E(ω)임을 증명하여 LQCC 연산 하에서의 단조감소성을 확인한다.
• E((ω₁⊗⋯⊗ωₙ)∘ζₙ) ≤ ∑_j E(ω_j)의 부등식이 성립하며, 일반적으로 등호는 성립하지 않아 이는 이전의 가환성 주장과 모순된다.
• 측도는 변분 표현 E(ω) = inf_{μ∈M_ω} ∫ S(φ, φ^A⊗φ^B) dμ(φ)를 갖으며, 이 하한은 어떤 μ₀에 의해 도달된다.