[논문 리뷰] Anti-concentration for polynomials of independent random variables

Alman, Josh, Hoi H. Nguyen외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 03.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 22인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 독립적인 랜덤 변수의 차수 d의 다중선형 다항식에 대해 near-optimal 반농도 경계를 확립하며, 고전적인 Littlewood-Offord 결과를 확장한다. 이는 랭크 기반 프레임워크를 도입하고, Rademacher, p-편향, 일반적인 독립 변수에 대해, 이러한 다항식이 길이 1인 어떤 간격에 속할 확률이 r^{-1/(4d+1)} 정도로 감소함을 보여주며, 여기서 r는 다항식의 랭크이다. 이 결과는 복잡도 이론에서 오랫동안 남아있던 과제를 해결하며, 무작위 그래프와 부울 함수 근사에 대해 날카운 경계를 도출한다.

ABSTRACT

Probabilistic polynomials over commutative rings offer a powerful way of representing Boolean functions. Although many degree lower bounds for such representations have been proved, sparsity lower bounds (counting the number of monomials in the polynomials) have not been so common. Sparsity upper bounds are of great interest for potential algorithmic applications, since sparse probabilistic polynomials are the key technical tool behind the best known algorithms for many core problems, including dense All-Pairs Shortest Paths, and the existence of sparser polynomials would lead to breakthrough algorithms for these problems. In this paper, we prove several strong lower bounds on the sparsity of probabilistic and approximate polynomials computing Boolean functions when 0 means "false". Our main result is that the AND of n ORs of c log n variables requires probabilistic polynomials (over any commutative ring which isn't too large) of sparsity n^Ω(log c) to achieve even 1/4 error. The lower bound is tight, and it rules out a large class of polynomial-method approaches for refuting the APSP and SETH conjectures via matrix multiplication. Our other results include: - Every probabilistic polynomial (over a commutative ring) for the disjointness function on two n-bit vectors requires exponential sparsity in order to achieve exponentially low error. - A generic lower bound that any function requiring probabilistic polynomials of degree d must require probabilistic polynomials of sparsity Ω(2^d). - Building on earlier work, we consider the probabilistic rank of Boolean functions which generalizes the notion of sparsity for probabilistic polynomials, and prove separations of probabilistic rank and probabilistic sparsity. Some of our results and lemmas are basis independent. For example, over any basis {a,b} for true and false where a ≠ b, and any commutative ring R, the AND function on n variables has no probabilistic R-polynomial with 2^o(n) sparsity, o(n) degree, and 1/2^o(n) error simultaneously. This AND lower bound is our main technical lemma used in the above lower bounds.

연구 동기 및 목표

• 고전적인 Littlewood-Offord 반농도 부등식을 독립적인 랜덤 변수의 고차수 다항식으로 확장하기.
• Parity 함수 계산에 대한 하한을 구하는 데 있어 오랫동안 남아있던 복잡도 이론의 열린 문제를 해결하기.
• 고정된 그래프의 복제 수에 대한 반농도 경계를 날카롭게 유도하기.
• Rademacher, p-편향, 비동일한 독립 변수를 포함한 일반적인 분포 하에서 다항식에 대한 이전 결과들을 통합하고 개선하기.
• 고정된 d에 대해 추측된 최적 감소율 r^{-1/2}에 거의 도달하는 프레임워크 제공, 다항식 요인 이외의 요소들까지 고려

제안 방법

• 계수의 크기가 적어도 1인 d개 요소의 서로소 집합의 최대 개수로 다항식의 랭크를 정의한다.
• 보조 베르누이 변수를 통해 p-편향 및 일반 분포를 Rademacher 유사 설정으로 변환하기 위해 조건부 기대와 축소 기법을 사용한다.
• Chernoff 유사 경계를 적용하여, 축소된 다항식이 원래 랭크의 비율에 비례하는 랭크를 가질 확률이 높다는 것을 보인다.
• Rademacher 변수에 대한 주요 결과(정리 1.6)를 기본 사례로 삼고, 측도 변환과 조건부 기대를 통해 p-편향 및 일반 분포로 확장한다.
• 반복적인 조건부 기대와 다항식 제약을 사용하여 복잡도 이론에서 하한을 증명하고, 문제를 제약된 다항식이 OR를 근사할 확률를 제한하는 것으로 환원한다.
• 랭크 기반 반농도 경계를 재귀적으로 적용하여, 차수 d가 관련 변수의 수에 비해 너무 작을 경우 모순을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 형식에 대한 반농도 경계(Littlewood-Offord)를 임의의 차수를 가진 고차수 다항식으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 랭크 r에 대해 다항식 P의 소구간 확률 P(P ∈ I)의 최적 감소율은 무엇인가?
• RQ3 반농도를 이용해 복잡도 이론에서 Parity 함수 계산에 대한 near-optimal 하한을 확립할 수 있는가?
• RQ4 p-편향 및 일반적인 비i.i.d. 분포 하에서 다항식의 반농도 행동은 어떻게 변화하는가?
• RQ5 랭크 r이 주어졌을 때, 차수 d의 다항식이 길이 1인 간격에 값을 가질 확률의 가장 날카운 경계는 무엇인가?

주요 결과

• Rademacher 변수에 대해, 길이 1인 간격 I에 대해 P(P ∈ I) ≤ min{B d^{4/3} √log r / r^{1/(4d+1)}, exp(B d^2 (log log r)^2) / √r} 를 증명하였다. 여기서 r은 다항식의 랭크이다.
• 이 경계는 거의 최적이다: 고정된 d에 대해 추측된 r^{-1/2} 감소율과 subpolynomial 요인 exp(B d^2 (log log r)^2)까지 고려하여 일치한다.
• p-편향 분포에 대해, P(P ∈ I) ≤ min{B d^{4/3} (log ˜r)^{1/2} / ˜r^{1/(4d+1)}, exp(B d^2 (log log ˜r)^2) / √˜r} 이며, 여기서 ˜r = 2^d α^d r 이고 α = min{p, 1−p}이다.
• 일반적인 독립 변수이면서 정규성 조건을 만족하는 경우, P(P ∈ I) ≤ min{B d^{4/3} (log ˜r)^{1/2} / ˜r^{1/(4d+1)}, exp(B d^2 (log log ˜r)^2) / √˜r} 이며, 여기서 ˜r = (pϵ)^d r이다.
• r = Θ(n)인 희박한 다항식에 대해, 소구간 확률은 O(n^{-1/2 + o(1)})이며, 이는 이전의 O(n^{-1/2 + c/2d}) 경계를 향상시킨다.
• 논문은 특정 분포 하에서 OR 함수를 ϵ-근사하기 위해 필요한 차수에 대해 Ω((log log n)/(log log log n))의 near-optimal 하한을 증명하며, Razborov와 Viola가 제기한 과제를 해결한다.