[논문 리뷰] Anti-Invariant Riemannian Submersions from Cosymplectic Manifolds

Cengizhan Murathan, İrem Küpeli Erken|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 20.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 13인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 코심플렉틱 다양체에서 리만 다양체로의 반불변 리만 부분사상들을 도입하고, 그 기하적 성질을 분석한다. 이들의 전적으로 기하학적이고 조화적인 성질을 갖기 위한 필요 및 충분 조건을 곡률 텐서와 스트럭처 텐서 $Ϗ$ 및 리만-레비치비타 접속을 포함한 적분 조건을 통해 수립한다.

ABSTRACT

We introduce anti-invariant Riemannian submersions from cosymplectic manifolds onto Riemannian manifolds. We survey main results of anti-invariant Riemannian submersions defined on cosymplectic manifolds. We investigate necessary and sufficient condition for an anti-invariant Riemannian submersion to be totally geodesic and harmonic. We give examples of anti-invariant submersions such that characteristic vector field ξ is vertical or horizontal. Moreover we give decomposition theorems by using the existence of anti-invariant Riemannian submersions.

연구 동기 및 목표

• 코심플렉틱 다양체에서 리만 다양체로의 반불변 리만 부분사상의 정의와 조사.
• 이러한 부분사상이 전적으로 기하학적이고 조화적인 데 필요한 필요 및 충분 조건을 규명하는 것.
• 반불변 부분사상의 존재가 전체 코심플렉틱 다양체에 가하는 기하학적 제약 조건 탐색.
• 특성 벡터 장 $\xi$가 수직 또는 수평일 경우에 대한 명시적 예제 제공.
• 부분사상의 구조와 그 적분 가능성 텐서를 바탕으로 한 분해 정리 수립.

제안 방법

• 거의 접촉 구조 $(\phi, \xi, \eta, g_M)$를 사용하여 코심플렉틱 다양체에서의 반불변 리만 부분사상 도입.
• O'Neill의 기본 텐서 $\mathcal{T}$ 및 $\mathcal{A}$를 적용하여 부분사상의 제2 기본 형식과 적분 가능성 분석.
• 전체 다양체에서 리만-레비치비타 접속 $\nabla$를 사용하여 $\phi$, $\mathcal{T}$, $\mathcal{A}$를 포함한 곡률 및 공변도 항등식 유도.
• 수평 분해를 위해 조건 $\ker F_* \oplus \phi(\ker F_*) \oplus \{\xi\} = (\ker F_*)^\perp$ 활용.
• 수직 및 수평 성분 간의 관계를 유도하기 위해 공식 $\mathcal{T}_V \phi W = \phi \mathcal{T}_V W$ 적용.
• 추적 항등식과 $\mathcal{T}_V \phi W$, $\mathcal{A}_X \phi W$의 영성 조건을 통해 조화성 및 전적으로 기하학적 조건 유도.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코심플렉틱 다양체에서의 반불변 리만 부분사상이 전적으로 기하학적일 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 부분사상이 언제 조화적이며, 이는 $\phi \mathcal{T}_V$의 추적과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 $\xi$가 수직 또는 수평일 경우 분포 $\ker F_*$는 기하학적으로 어떻게 행동하는가?
• RQ4 반불변 부분사상의 존재로부터 유도할 수 있는 분해 정리는 무엇인가?
• RQ5 이러한 부분사상 하에서 전체 다양체 $M$이 국소적으로 곱 다양체가 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 반불변 리만 부분사상이 전적으로 기하학적일 조건은 모든 $W, V \in \Gamma(\ker F_*)$ 및 $X \in \Gamma((\ker F_*)^\perp)$에 대해 $\mathcal{T}_W \phi V = 0$ 이고 $\mathcal{A}_X \phi W = 0$ 인 것과 동치이다.
• 부분사상이 조화적일 조건은 모든 $V \in \Gamma(\ker F_*)$에 대해 $\operatorname{Trace} \, \phi \mathcal{T}_V = 0$ 인 것과 동치이다.
• 부분사상이 전적으로 기하학적일 조건은 $\mathcal{T}_V \phi W = 0$ 이고 $\mathcal{A}_X \phi W = 0$ 인 것과 동치이며, 이는 $M$이 국소적으로 곱 다양체임을 암시한다.
• 모든 관련 벡터 장에 대해 $\mathcal{A}_X \phi Y = 0$ 이고 $\mathcal{T}_V \phi W = 0$ 이라면, $M$은 국소적으로 곱 다양체이다.
• 조건 $g_N((\nabla F_*)(X, \phi Y), F_* \phi V) = -g_M(CY, \phi \mathcal{A}_X V)$ 와 $g_N((\nabla F_*)(V, \phi X), F_* \phi W) = 0$ 은 국소 곱 구조를 특징짓는다.
• 특성 벡터 장 $\xi$가 수직 또는 수평일 수 있는 예제를 구성하여 이러한 부분사상의 존재를 입증한다.