[논문 리뷰] Anti-self-dual orbifolds with cyclic quotient singularities

Jeff Viaclovsky, Michael T. Lock|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 17.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 순환 몫 특이점을 가진 4차원 반자기적 오비폴드 위에서 반자기적 변형 복합체에 대한 인덱스 정리를 수립하여 변형 공간의 차원을 계산할 수 있게 한다. 이 결과를 적용하여, 에구치-한슨 계량을 제외한 캘더백-싱어 스칼라 평탄한 카일러 토릭 ALE 공간들은 비토릭 반자기적 변형을 가지며, 가중 투영 공간 위의 표준 보흐너-카일러 계량은 비자명한 자기적 변형을 가지며, 이로 인해 새로운 자기적 오비폴드 계량이 유도됨.

ABSTRACT

An index theorem for the anti-self-dual deformation complex on anti-self-dual orbifolds with cyclic quotient singularities is proved. We present two applications of this theorem. The first is to compute the dimension of the deformation space of the Calderbank-Singer scalar-flat Kahler toric ALE spaces. A corollary of this is that, except for the Eguchi-Hanson metric, all of these spaces admit non-toric anti-self-dual deformations, thus yielding many new examples of anti-self-dual ALE spaces. For our second application, we compute the dimension of the deformation space of the canonical Bochner-Kahler metric on any weighted projective space $\mathbb{CP}^2_{(r,q,p)}$ for relatively prime integers $1 < r < q < p$. A corollary of this is that, while these metrics are rigid as Bochner-Kahler metrics, infinitely many of these admit non-trival self-dual deformations, yielding a large class of new examples of self-dual orbifold metrics on certain weighted projective spaces.

연구 동기 및 목표

• 순환 몫 특이점을 가진 반자기적 오비폴드 위에서 반자기적 변형 복합체에 대한 인덱스 정리를 개발하는 것.
• 캘더백-싱어 스칼라 평탄한 카일러 토릭 ALE 공간들의 변형 공간 차원을 계산하는 것.
• 가중 투영 공간 $\mathbb{CP}^{2}_{(r,q,p)}$ 위의 표준 보흐너-카일러 계량의 변형 공간 차원을 결정하는 것.
• 비자명한 변형을 통한 반자기적 및 자기적 오비폴드 계량의 새로운 예를 구성하는 것.

제안 방법

• 순환 군 작용을 갖는 오비폴드에 대한 애티야-식어 인덱스 정리의 수정항을 $\Gamma$-인덱스 공식을 사용하여 유도하는 것.
• $\mathbb{R}^4$ 위에서 $\Gamma_{(q,p)}$-작용에 대한 $\Gamma$-인덱스를 명시적으로 계산하여, 순환 몫 $\mathbb{R}^4/\Gamma_{(q,p)}$에 대응하는 것.
• 캘더백-싱어 ALE 공간에 인덱스 공식을 적용하기 위해 그 특이점에 대한 $\Gamma$-인덱스를 계산하는 것.
• 인덱스를 사용하여 $\dim H^1$ 및 $\dim H^0$을 계산하고, 쿠라니시 사상에 의해 모듈리 공간의 차원을 유도하는 것.
• 유일성 연장과 아인슈타인 스케일링된 계량에서의 감쇠 추정을 사용하여, 반전된 방향성을 가진 $\overline{\mathbb{CP}}^2_{(r,q,p)}$ 위의 표준 보흐너-카일러 계량에 대해 $H^2 = 0$임을 증명하는 것.
• 상호성과 수론적 항등식을 활용하여 하나 또는 두 개의 특이점을 가진 경우의 인덱스를 평가하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순환 몫 특이점을 가진 반자기적 오비폴드에 대한 애티야-식어 인덱스 정리의 명시적 수정항은 무엇인가?
• RQ2 캘더백-싱어 스칼라 평탄한 카일러 토릭 ALE 공간들의 변형 공간 차원은 무엇인가?
• RQ3 에구치-한슨 사례를 제외하고 이 ALE 공간들은 비토릭 반자기적 변형을 가지는가?
• RQ4 가중 투영 공간 $\mathbb{CP}^{2}_{(r,q,p)}$ 위의 표준 보흐너-카일러 계량의 변형 공간 차원은 무엇인가?
• RQ5 이 계량들은 비자명한 자기적 변형을 가지는가? 만약 그렇다면, 몇 개인가?

주요 결과

• 캘더백-싱어 ALE 공간에서 $1 < r < q < p$ 이고 상호소수일 경우, 변형 공간 차원은 $q = p-1$이면 $2$, $p = eq - (q-1)$ 이고 $q \neq p-1$ 이면 $-4\lfloor p/q \rfloor + 6$, 그 외에는 $-4\lfloor p/q \rfloor + 4$이다.
• 에구치-한슨 계량을 제외한 모든 캘더백-싱어 ALE 공간들은 비토릭 반자기적 변형을 가지며, 이는 새로운 반자기적 ALE 공간의 예를 제공한다.
• 가중 투영 공간 $\overline{\mathbb{CP}}^2_{(1,q,p)}$ 위의 표준 보흐너-카일러 계량에 대해, $q = p-1$ 이면 인덱스가 $2$, 그 외에는 $-4\lfloor p/q \rfloor + 6$, $r = q = 1$ 이면 $-4p + 12$이다.
• 이 가중 투영 공간 위의 반자기적 등각 구조의 모듈리 공간은 국소적으로 $H^1 / H^0$와 동형이며, $H^0$의 작용에 따라 차원이 달라진다.
• 반전된 방향성을 가진 $\overline{\mathbb{CP}}^2_{(r,q,p)}$ 위의 표준 보흐너-카일러 계량에 대해 $H^2$가 소멸함을 보여, 모듈리 공간이 국소적으로 $H^1 / H^0$임을 시사한다.
• 경험적 증거는 수론적 조건 $H(r,q,p) = \{p/(qr)\} - \{q^{-1;r}p / r\}$ 가 양수와 음수일 확률이 약간씩 균형을 이루고 있음을 시사한다.