[논문 리뷰] Anti-van der Waerden numbers of 3-term arithmetic progressions

Zhanar Berikkyzy, Alex Schulte외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 29.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $\operatorname{aw}([n],3)$의 반바나흐-바르데르 수가 $\lceil \log_3 n \rceil + C$로 유계임을 시사하는 추측을, 모든 $n$에 대해 $\operatorname{aw}([n],3)$의 정확한 값을 결정하여 해결한다. $7 \cdot 3^{m-2} + 1 \leq n \leq 21 \cdot 3^{m-2}$ 범위에서 $n = 3^m$ 이면 $\operatorname{aw}([n],3) = m+2$, 그 외에는 $m+3$임을 증명하며, 이는 추측을 확인하고 정확한 레인보우 3항 등차수열의 임계값을 설정한다.

ABSTRACT

The \emph{anti-van der Waerden number}, denoted by $aw([n],k)$, is the smallest $r$ such that every exact $r$-coloring of $[n]$ contains a rainbow $k$-term arithmetic progression. Butler et. al. showed that $\lceil \log_3 n ceil + 2 \le aw([n],3) \le \lceil \log_2 n ceil + 1$, and conjectured that there exists a constant $C$ such that $aw([n],3) \le \lceil \log_3 n ceil + C$. In this paper, we show this conjecture is true by determining $aw([n],3)$ for all $n$. We prove that for $7\cdot 3^{m-2}+1 \leq n \leq 21 \cdot 3^{m-2}$, \[ aw([n],3)=\left\{\begin{array}{ll} m+2, & \mbox{if $n=3^m$}\\ m+3, & \mbox{otherwise}. \end{array} ight.\]

연구 동기 및 목표

• Butler 등이 제기한 추측을 해결하는 것: $\operatorname{aw}([n],3) \leq \lceil \log_3 n \rceil + C$ 이며, 어떤 상수 $C$에 대해서도 성립한다.
• 모든 $n \geq 2$에 대해 $\operatorname{aw}([n],3)$의 정확한 값을 결정하는 것.
• $\operatorname{aw}([n],3)$과 $\operatorname{aw}_u([n],3)$ 사이의 관계를 규명하여, 모든 $n$에 대해 이들이 동일함을 보이는 것.
• 레인보우 3항 등차수열을 피하는 극한 색칠의 구조적 특성을 재귀적 추론을 통해 규명하는 것.

제안 방법

• 표본 사례를 표 1에서 가져와 $n$에 대한 귀납법을 사용하여 $\operatorname{aw}([n],3)$의 정확한 공식을 증명하는 것.
• $h = \lfloor n/3 \rfloor$ 이며, $[n]$, $[h]$, $[h-1]$의 구조를 활용하여 모듈로 환산과 색칠 확장을 통해 유니터리 색칠을 구성하는 것.
• $\operatorname{aw}(\mathbb{Z}_n,3)$에 대한 정리 3을 적용하여 $\log_3(2q)$를 이용해 $\operatorname{aw}(\mathbb{Z}_{2q},3)$를 유계화하는 것. 이는 소인수 분해의 성질을 활용한다.
• 특정 색상 패턴을 가진 8-항 등차수열을 분석하여 $n$과 $q$에 대한 제약 조건을 도출하고, 이로부터 $r$에 대한 유계를 도출하는 것.
• 구간 내 색상 패턴의 대칭성과 반전을 활용하여 $\mathbb{Z}_{2q}$의 레인보우 3-AP를 포함하지 않는 색칠을 구성함으로써 재귀적 유계를 확립하는 것.
• 모순에 의한 증명: $r$개의 색상으로 색칠했을 때 레인보우 3-AP가 존재하지 않는다고 가정하면, $r \leq f(n) - 1$이 아닐 경우 모순이 발생하므로 상한이 증명된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $n \geq 3$에 대해 어떤 상수 $C$가 존재하여 $\operatorname{aw}([n],3) \leq \lceil \log_3 n \rceil + C$가 성립하는가?
• RQ2 모든 $n$에 대해 $\operatorname{aw}([n],3)$의 정확한 값은 무엇인가?
• RQ3 $\operatorname{aw}_u([n],3)$와 $\operatorname{aw}([n],3)$는 어떤 관계가 있는가?
• RQ4 레인보우 3-항 등차수열을 피하는 극한 색칠의 구조적 특성은 무엇인가?

주요 결과

• $\operatorname{aw}([n],3) \leq \lceil \log_3 n \rceil + C$라는 추측은 $C = 3$로 확인되었으며, 정확한 값이 결정되었다.
• $7 \cdot 3^{m-2} + 1 \leq n \leq 21 \cdot 3^{m-2}$ 범위에서 $n = 3^m$ 이면 $\operatorname{aw}([n],3) = m+2$, 그 외에는 $m+3$이다.
• 모든 $n \geq 2$에 대해 $\operatorname{aw}_u([n],3) = \operatorname{aw}([n],3)$이며, 이는 유니터리 색칠이 극한 임계값을 달성함을 보여준다.
• 구간 축소와 색칠 대칭성을 활용한 귀납법과 모순에 의한 증명을 통해 상한 $\operatorname{aw}([n],3) \leq f(n)$이 증명되었다.
• 분석 결과, $n \geq 9q$ 이면 9-항 등차수열은 반드시 레인보우 3-항 등차수열을 포함하므로, $n \leq 9q - 1$이 되어야 하며, 이는 가능한 색칠을 제한한다.
• $q = 3^i$ 이면 $\operatorname{aw}(\mathbb{Z}_{2q},3) \leq \lceil \log_3(2q) \rceil + 2$이며, 이 유계는 귀납 단계에서 $r \leq f(n) - 1$을 보이는 데 사용된다.