[논문 리뷰] Anti-Windup Approximations of Oblique Projected Dynamics for Feedback-based Optimization

Adrian Hauswirth, Florian Dörfler외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 01.

Advanced Wireless Network Optimization참고 문헌 23인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 피드백 기반 최적화를 구현하기 위해 포화를 포함한 고이득 적분 제어를 사용하여 기울기 없는 투영 동역학계(PDS)의 반복 방지 보정 근사치를 제안한다. 반복 방지 보정 이득이 증가함에 따라 균일 수렴성과 국소적 실용적 안정성을 확립하며, 강한 단조성 벡터장에 대해서는 강건한 점근적 수렴성을 보이며, 입력 제약 조건의 명시적 지식 없이도 최적화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we study how high-gain anti-windup schemes can be used to implement projected dynamical systems in control loops that are subject to saturation on a (possibly unknown) set of admissible inputs. This insight is especially useful for the design of autonomous optimization schemes that realize a closed-loop behavior which approximates a particular optimization algorithm (e.g., projected gradient or Newton descent) while requiring only limited model information. In our analysis we show that a saturated integral controller, augmented with an anti-windup scheme, gives rise to a perturbed projected dynamical system. This insight allows us to show uniform convergence and robust practical stability as the anti-windup gain goes to infinity. Moreover, for a special case encountered in autonomous optimization we show robust convergence, i.e., convergence to an optimal steady-state for finite gains. Apart from being particularly suited for online optimization of large-scale systems, such as power grids, these results are potentially useful for other control and optimization applications as they shed a new light on both anti-windup control and projected gradient systems.

연구 동기 및 목표

• 반복 방지 보정 제어와 투영 동역학계(PDS) 간의 엄밀한 연결 고리를 확립하여 제약 조건이 있는 최적화 문제에 응용한다.
• 볼록성 가정을 완화하고 비볼록이지만 프록스-정규성 있는 타당 집합을 허용함으로써 이전 연구를 일반화한다.
• 리만 기하학적 계량을 사용한 기울기 없는 PDS로 프레임워크를 확장하여, 투영 뉴턴 흐름과 같은 더 넓은 동역학을 가능하게 한다.
• 유한 및 무한 이득 조건 하에서 반복 방지 보정 근사치의 수렴성과 안정성 분석을 수행하며, 특히 자율 최적화 맥락에서의 성능을 다룬다.
• 입력 제약 조건이 물리적으로 강제되며 알려져 있지 않은 실제 시스템, 예를 들어 전력망에서의 적용 가능성을 입증한다.

제안 방법

• 고이득 반복 방지 보정 보정을 갖춘 포화된 적분 제어기로 반복 방지 보정 근사치(AWA)를 수식화하여 투영 동역학을 모방한다.
• 리만 기하학적 계량을 통해 정의된 기울기 없는 투영을 사용하여 표준 투영 흐름을 뉴턴 유형의 동역학으로 일반화한다.
• 투영과 포화로 인한 불연속성을 가진 미분 포함형 문제로 변형된 결과 시스템을 분석한다.
• 반복 방지 보정 이득 $K \to \infty$일 때 AWA 궤적의 균일 수렴성을, 제한된 PDS의 해로 증명한다.
• 해가 유일하지 않거나 유한 탈출 시간을 가질 수 있는 경우에도, 반복 방지 보정 편향 하에서 PDS의 국소적 실용적 강건성을 입증한다.
• 강한 단조성 벡터장에 대해서는, 점근적 결과를 넘어서 유한 $K$에 대해서도 강건한 점근적 안정성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고반복 방지 보정 이득의 극한에서 반복 방지 보정 제어 기법이 기울기 없는 투영 동역학계를 엄밀히 근사할 수 있는가?
• RQ2 타당 집합이 비볼록이지만 프록스-정규성일 경우, 제안된 프레임워크가 여전히 수렴성과 안정성을 유지하는가?
• RQ3 유한 이득 조건 하에서 반복 방지 보정 근사치가 원래의 투영 기울기 또는 뉴턴 흐름의 수렴 속도를 유지할 수 있는가?
• RQ4 유한 이득 조건에서 반복 방지 보정 근사치가 최적 해로의 강건한 점근적 안정성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 물리적 포화를 어떻게 활용하여 입력 제약 조건의 명시적 지식 없이도 피드백 기반 최적화를 구현할 수 있는가?

주요 결과

• 반복 방지 보정 이득 $K \to \infty$일 때 반복 방지 보정 근사치 궤적의 균일 수렴성이 제한된 기울기 없는 투영 동역학계의 해로 증명된다.
• 반복 방지 보정 편향 하에서도 타당 집합이 비유일하거나 탈출 시간이 유한한 경우에도 투영 동역학계의 국소적 실용적 강건성이 입증된다.
• 강한 단조성 벡터장에 대해서는, 점근적 결과를 넘어서 유한 반복 방지 보정 이득 $K$에 대해서도 강건한 점근적 안정성이 달성된다.
• 반례를 통해 프록스-정규성이 수렴성 확보를 위해 필수 조건임을 입증하며, 이를 더 이상 완화할 수 없다.
• 시뮬레이션 결과에서 내부 상태 $u$가 수렴하지 않더라도, 포화된 제어 입력 $P_{\mathcal{U}}(u)$와 쌍대 변수는 최적 해로 수렴하는 것으로 관측된다.
• 반복 방지 보정 기울기 기반 방법의 관측된 수렴 속도는 반복 방지 보정 이득과 독립적으로 보이며, 놀라운 강건성 특성을 보이며 향후 분석이 필요하다.