[논문 리뷰] Anticipating Random Periodic Solutions--II. SPDEs with Multiplicative Linear Noise

Chunrong Feng, Yue Wu외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 01.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $L^2(\mathcal{O})$에서의 무한 수렴 영역 스토하스틱 적분 방정식을 사용하여 유계 도메인에서 다중선형 선형 소음이 있는 반선형 스토하스틱 편미분 방정식(SPDEs)에 대한 무작위 주기적 해의 존재성을 확립한다. 일반화된 샤펜의 고정점 정리, 위너-소볼레프 공간에서의 상대적 컴acts, 그리고 국소화 방법을 활용하여 저자들은 존재성 결과를 증명하였으며, 이를 주기적 포텐셜을 가진 스토하스틱 앨런-클로우 방정식에 적용하였다.

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of random periodic solutions for semilinear stochastic partial differential equations with multiplicative linear noise on a bounded open domain ${\cal O}\subset {\mathbb R}^d$ with smooth boundary. We identify them with the solutions of coupled forward-backward infinite horizon stochastic integral equations in $L^2({\cal O})$. We then use generalized Schauder's fixed point theorem, the relative compactness of Wiener-Sobolev spaces in $C^0([0, T], L^2(Ω imes{\cal O}))$ and a localization argument to prove the existence of solutions of the infinite horizon integral equations, which immediately implies the existence of the random periodic solution to the corresponding SPDEs. As an example, we apply our result to the stochastic Allen-Cahn equation with a periodic potential and prove the existence of a random periodic solution using a localisation argument.

연구 동기 및 목표

• 유계 도메인에서 경계가 매끄러운 다중선형 선형 소음이 있는 반선형 SPDEs에 대한 무작위 주기적 해의 존재성을 확립하는 것.
• 무작위 주기적 해가 다중선형 소음 설정에서 예측 가능하지 않다는 점으로 인해 스코로호드 유형의 스토하스틱 적분이 필요하다는 도전 과제를 다루는 것.
• 멀라비아 미분의 추정에 어려움을 겪는 문제를 해결하기 위해 스토하스틱 선형 진화 연산자 도입 및 문제를 결합된 전진-후진 무한 수렴 영역 무작위 적분 방정식(IHRIEs)으로 재구성하는 것.
• 특히 SPDEs에 대해 무한 차원 설정으로의 무작위 주기적 해 이론을 확장하는 것.
• 물리적으로 관련된 모델인 주기적 포텐셜을 가진 스토하스틱 앨런-클로우 방정식에 이 틀이 적용 가능한지를 보여주는 것.

제안 방법

• SPDE를 $L^2(\mathcal{O})$에서의 전진-후진 무한 수렴 영역 스토하스틱 적분 방정식(IHSIEs)의 결합된 시스템으로 공식화하는 것.
• 스토하스틱 선형 진화 연산자를 사용하여 다중선형 소음을 다루고 스코로호드 적분을 직접 다루지 않도록 하는 것.
• 무한 수렴 영역 적분 방정식의 해 존재성을 증명하기 위해 일반화된 샤펜의 고정점 정리를 적용하는 것.
• 근사 수열의 수렴을 보장하기 위해 $C^0([0,T], L^2(\Omega \times \mathcal{O}))$에서의 위너-소볼레프 공간의 상대적 컴acts를 활용하는 것.
• 비선형성을 제어하고 고정점 증명에서 필요로 하는 균일한 유계성을 확보하기 위해 국소화 방법을 구현하는 것.
• 분석에서 일관된 타원형 연산자 $\mathcal{L}$의 고유함수 $\{\phi_k\}$와 고유값 $\{\mu_k\}$를 이용한 스펙트럼 분해를 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중선형 선형 소음이 있는 반선형 SPDEs에 대해, 이러한 해가 예측 가능하지 않기 때문에 무작위 주기적 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 무작위 주기적 해의 맥락에서 스코로호드 유형의 스토하스틱 적분으로 인해 발생하는 분석적 과제를 어떻게 극복할 수 있는가?
• RQ3 무작위 주기적 해의 존재성을 보장하기 위한 조건은 무엇인가? 특히 다중선형 소음이 있는 무한 차원 SPDEs에서.
• RQ4 이 틀은 주기적 포텐셜을 가진 스토하스틱 앨런-클로우 방정식과 같이 물리적으로 관련된 모델에 적용 가능한가?
• RQ5 위너-소볼레프 공간의 상대적 컴acts가 무한 차원 설정에서 존재성 증명에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 다중선형 선형 소음이 있는 SPDEs에 대한 무작위 주기적 해의 존재성이 결합된 전진-후진 무한 수렴 영역 무작위 적분 방정식의 해를 통해 확립되었다.
• 스토하스틱 선형 진화 연산자를 도입함으로써 스코로호드 적분을 직접 다루지 않고도 고정점 증명에 활용할 수 있도록 하였다.
• $C^0([0,T], L^2(\Omega \times \mathcal{O}))$에서의 위너-소볼레프 공간의 상대적 컴acts는 고정점 증명에서 수렴하는 부분수열을 추출하는 데 사용되었다.
• 비선형 항을 제어하고 고정점 정리에 필요한 균일한 유계성을 확보하기 위해 국소화 방법이 성공적으로 적용되었다.
• 주기적 포텐셜 $F(t,u) = u - u^3 + \sin t$를 가진 스토하스틱 앨런-클로우 방정식의 경우 약한 소산 조건이 만족되며, 주기 $2\pi$의 무작위 주기적 해가 존재함을 증명하였다.
• 존재성 결과에 필수적인 소산성을 보장하기 위해 핵심 추정식 $\tilde{M} = M - \epsilon > \sigma^2/2$ 이 사용되었다.