[논문 리뷰] Any Baumslag-Solitar action on surfaces with a pseudo-Anosov element has a finite orbit

Nancy Guelman, Isabelle Liousse|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 27.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 평면 위의 허위-아노소프 원소를 가진 $BS(1,n)$의 임의의 충실한 $C^1$ 작용이 유한 궤도를 가져야 한다는 것을 증명한다. 동역학 시스템 기법, 특히 불안정 다변수와 미분 성장 추정을 사용하여, 허위-아노소프 원소의 존재는 작용이 유한한 $f$-불변 집합을 보존하도록 강제함으로써, 아노소프 역학을 가진 토러스 위의 충실한 $C^1$ 작용이 불가능하다는 것을 밝힌다.

ABSTRACT

We consider $f, h$ homeomorphims generating a faithful $BS(1,n)$-action on a closed surface $S$, that is, $h f h^{-1} = f^n$, for some $ n\\geq 2$. According to \\cite{GL}, after replacing $f$ by a suitable iterate if necessary, we can assume that there exists a minimal set $\\Lambda$ of the action, included in $Fix(f)$. Here, we suppose that $f$ and $h$ are $C^1$ in neighbourhood of $\\Lambda$ and any point $x\\in\\Lambda$ admits an $h$-unstable manifold $W^u(x)$. Using Bonatti's techniques, we prove that either there exists an integer $N$ such that $W^u(x)$ is included in $Fix(f^N)$ or there is a lower bound for the norm of the differential of $h$ only depending on $n$ and the Riemannian metric on $S$. Combining last statement with a result of \\cite{AGX}, we show that any faithful action of $BS(1, n)$ on $S$ with $h$ a pseudo-Anosov homeomorphism has a finite orbit. As a consequence, there is no faithful $C^1$-action of $BS(1, n)$ on the torus with $h$ an Anosov.

연구 동기 및 목표

• 충실한 $C^1$ 작용이 존재할 수 있는지 여부를 조사한다: $BS(1,n)$의 작용이 폐포 표면 위에 허위-아노소프 원소를 가진다 하더라도 유한 궤도가 존재하지 않는가?
• 최소 집합과 고정점 집합 근처에서 $BS(1,n)$ 작용의 동역학적 행동을 분석한다.
• 불안정 다변수의 성질이 $f$의 주기점 또는 고정점의 존재를 강제함으로써 유한 궤도를 이끌어내는 조건을 설정한다.
• 기하학적 및 동역학적 제약 조건을 사용하여, $h$가 아노소프일 경우 $BS(1,n)$이 토러스 위에 충실하고 $C^1$-스무스하게 작용할 수 있는지 여부를 해결한다.

제안 방법

• 작용이 반복된 후 $f$가 항등사상과 동치임을 가정할 때, $BS(1,n)$ 작용에 대해 최소 집합 $\Lambda \subset \operatorname{Fix}(f)$의 존재를 이용한다.
• 불안정 다변수와 미분 성장 기법을 적용하여, $h$의 미분 노름을 불안정 방향에 따라 분석한다.
• Riemann 메트릭과만 관련된 상수에 의존하는, $\Lambda$의 근방 $W$에서 $Dh$의 연산자 노름 $\mathcal{S}(h,W)$에 하한을 설정한다.
• 만약 스트레치 인자 $\lambda > n$이면 $f = \mathrm{id}$임을 보여주는 [AGX]의 결과를 활용하여, $\lambda \leq n$이 아닐 경우 모순을 이끌어낸다.
• 만약 $W^u(x_0)$가 $\operatorname{Fix}(f^N)$에 포함되지 않으면, $\mathcal{S}(h,W) \geq \frac{n}{C_S}$임을 보이며, 이는 허위-아노소프 역학의 성장 추정과 결합될 때 모순을 유도한다.
• Wea의 주요 정리에 기반한 모순 증명을 통해, 불안정 다변수 위의 점들이 고정점이 되어야 하며, 그렇지 않으면 미분 성장이 너무 크다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 폐포 표면 위에 허위-아노소프 원소를 가진 충실한 $C^1$ 작용이 유한 궤도 없이 존재할 수 있는가?
• RQ2 불안정 다변수 $h$가 $f$의 고정점 집합과 만날 경우 어떤 동역학적 제약 조건이 발생하는가?
• RQ3 불안정 다변수를 따라 $h$의 미분 성장률이 $f$를 비자명하게 만들거나 주기적으로 만들도록 강제하는가?
• RQ4 $h$가 아노소프일 경우 $BS(1,n)$이 토러스 위에 충실하고 $C^1$-스무스하게 작용할 수 있는가?
• RQ5 $h$의 특이점 집합 $\Sigma$는 충실한 작용이 유한 궤도 없이 존재하는 것을 방해하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 어떤 폐포 표면 위에 허위-아노소프 원소를 가진 충실한 $C^1$ 작용이라도 $BS(1,n)$은 반드시 유한 궤도를 가져야 한다.
• 만약 $\Lambda$의 점에서 $h$의 불안정 다변수가 $\operatorname{Fix}(f^N)$에 포함되지 않으면, $Dh$의 연산자 노름 $\mathcal{S}(h,W)$는 $\frac{n}{C_S}$ 이상이어야 한다.
• 허위-아노소프 원소의 존재는 스트레치 인자 $\lambda$가 $\lambda \leq n$이 되도록 강제하지만, 미분 성장 추정에 의해 $\lambda \geq n$이므로 $\lambda = n$이 되며, 이는 허위-아노소프 사상에서 $\lambda$가 정수일 수 없다는 알려진 사실과 모순된다.
• $\operatorname{Fix}(f)$는 $h$의 특이점 집합 $\Sigma$와 교차해야 하며, 이는 유한하고 $h$-불변이므로 작용이 유한 궤도를 가져야 한다는 것을 의미한다.
• 결과적으로, 아노소프 역학을 가진 $h$를 가진 토러스 위에 충실한 $C^1$ 작용은 존재하지 않으며, 이러한 작용은 $\lambda > n$이어야 하므로 $f = \mathrm{id}$가 되며, 이는 충실성에 위배된다.
• 이 논문은 허위-아노소프 원소를 가진 표면 위에서의 충실한 $C^1$ 작용은 오직 유한 궤도를 가지는 경우에만 가능하다는 것을 입증하며, 표면군 작용 이론에서 핵심적인 질문을 해결한다.