[논문 리뷰] Any non-monomial polynomial of the Riemann zeta-function has complex zeros off the critical line

Takashi Nakamura, Łukasz Pańkowski|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 24.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 32인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 리만 제타함수 및 관련 제타함수—예를 들어 대칭 행렬과 관련된 제타함수, 스펙트럼 제타함수, 오일러-자지어 다중 제타함수, 바니스 및 신타니 다중 제타함수, 위튼 다중 제타함수 등—의 비단항다항식이 임의의 비잔금성 복소수 제로를 무한히 가진다는 것을 증명한다. 이 결과는 하이브리드 유니버설리티와 해석적 계속 기법을 통해 도출되었으며, 임계선 외부에 광범위하게 분포한 비자명한 제로를 지닌 제타함수의 넓은 범주를 확립한다.

ABSTRACT

In this paper, we show that any polynomial of zeta or $L$-functions with some conditions has infinitely many complex zeros off the critical line. This general result has abundant applications. By using the main result, we prove that the zeta-functions associated to symmetric matrices treated by Ibukiyama and Saito, certain spectral zeta-functions and the Euler-Zagier multiple zeta-functions have infinitely many complex zeros off the critical line. Moreover, we show that the Lindelöf hypothesis for the Riemann zeta-function is equivalent to the Lindelöf hypothesis for zeta-functions mentioned above despite of the existence of the zeros off the critical line. Next we prove that the Barnes multiple zeta-functions associated to rational or transcendental parameters have infinitely many zeros off the critical line. By using this fact, we show that the Shintani multiple zeta-functions have infinitely many complex zeros under some conditions. As corollaries, we show that the Mordell multiple zeta-functions, the Euler-Zagier-Hurwitz type of multiple zeta-functions and the Witten multiple zeta-functions have infinitely many complex zeros off the critical line.

연구 동기 및 목표

• 비단항다항식 제타함수의 비자명한 복소수 제로가 임계선 외부에 무한히 존재하는지를 보여주는 일반 기준을 수립하는 것.
• 유니버설리티 원리를 임계선 외부에 제로를 지닌 제타함수로 확장하는 것—특히 하이브리드 유니버설리티와 해석적 계속 기법을 통해.
• 대수적 또는 초월적 매개변수 조건 하에서 다중 제타함수(예: 오일러-자지어, 바니스, 신타니, 위튼)의 제로 분포를 해결하는 것.
• 린델뢰프 가설과 제로의 위치 사이의 관계를 명확히 하여, 임계선 외부에 제로가 존재하더라도 제타함수에 대한 린델뢰프 가설이 동치임을 보여주는 것.

제안 방법

• 제타함수의 근사 성질과 제로 분포를 연결하기 위해 하이브리드 유니버설리티 정리를 적용하는 것.
• 다중 제타함수의 유리형 계속을 위해 오일러-매클르린, 멜린-바니스, 이항정리 기법을 사용하는 것.
• 보조 함수의 함수방정식과 영이 아닌 성질을 분석하여 비자명한 제로 군집을 보장하는 것.
• Euler乘수를 지닌 제타함수의 강력한 유니버설리티와 일반 Dirichlet 급수의 조합을 활용하는 것.
• 리 대수기반 제타함수에 대해 스펙트럼 및 표현 이론적 구조와 결합한 크로네커의 근사정리 활용.
• 모순에 의한 증명과 밀도 추론을 통해 제로 집합이 주어진 조건 하에서 임계선에만 국한될 수 없음을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만 제타함수의 비단항다항식은 임계선 외부에 무한히 많은 복소수 제로를 지니는가?
• RQ2 하이브리드 유니버설리티 정리를 사용하여 임계선 외부에 제로를 지닌 제타함수의 제로 분포 정리를 도출할 수 있는가?
• RQ3 유리수 또는 초월적 매개변수를 지닌 바니스 다중 제타함수는 임계선 외부에 무한히 많은 비자명한 제로를 지니는가?
• RQ4 모델, 오일러-자지어-허리츠, 위튼 다중 제타함수는 특정 매개변수 조건을 만족할 경우 임계선 외부에 무한히 많은 복소수 제로를 지니는가?
• RQ5 리만 제타함수에 대한 린델뢰프 가설은 임계선 외부에 제로를 지닌 다른 제타함수에 대한 린델뢰프 가설과 동치인가?

주요 결과

• 일부 수렴성 및 영이 아닌 조건이 만족될 경우, 리만 제타함수의 비단항다항식은 임계선 외부에 무한히 많은 복소수 제로를 지닌다.
• 이부키야마와 사이나의 연구에서 다루어진 대칭 행렬과 관련된 제타함수는 임계선 외부에 무한히 많은 비자명한 제로를 지닌다.
• 스펙트럼 제타함수와 오일러-자지어 다중 제타함수의 매개변수가 초월적 또는 대수적으로 독립적일 경우, 임계선 외부에 무한히 많은 복소수 제로를 지닌다.
• 유리수 또는 초월적 매개변수를 지닌 바니스 다중 제타함수의 경우 임계선 외부에 무한히 많은 제로를 지닌다. 이는 적절한 조건 하에서 신타니 다중 제타함수에게도 동일하게 적용된다.
• 모델 다중 제타함수, 오일러-자지어-허리츠 유형, 위튼 다중 제타함수 모두 매개변수가 요구하는 대수적 독립성 또는 초월성 조건을 만족할 경우 임계선 외부에 무한히 많은 복소수 제로를 지닌다.
• 리만 제타함수에 대한 린델뢰프 가설은 논의된 모든 제타함수에 대해 동치이며, 임계선 외부에 제로가 존재하더라도 그 가정이 유지된다.