[논문 리뷰] Aperiodic Structures Never Collapse: Fibonacci Hierarchies for Lossless Compression

Roberto Tacconelli (Plain Text Extraction and Formatting)|arXiv (Cornell University)|2026. 03. 16.

Quasicrystal Structures and Properties인용 수 0

한 줄 요약

이 논문은 Fibonacci quasicrystal-based hierarchies for word-level compression이 모든 깊이에서 붕괴를 피하고, scale-invariant reuse, 더 높은 코드북 효율성, 그리고 주기적 타일링보다 더 낮은 코딩 엔트로피를 달성한다는 것을 ten-level hierarchy와 multi-tiling engine으로 시연한다.

ABSTRACT

We study whether an aperiodic hierarchy can provide a structural advantage for lossless compression over periodic alternatives. We show that Fibonacci quasicrystal tilings avoid the finite-depth collapse that affects periodic hierarchies: usable $n$-gram lookup positions remain non-zero at every level, while periodic tilings collapse after $O(\log p)$ levels for period $p$. This yields an aperiodic hierarchy advantage: dictionary reuse remains available across all scales instead of vanishing beyond a finite depth. Our analysis gives four main consequences. First, the Golden Compensation property shows that the exponential decay in the number of positions is exactly balanced by the exponential growth in phrase length, so potential coverage remains scale-invariant with asymptotic value $Wφ/\sqrt{5}$. Second, using the Sturmian complexity law $p(n)=n+1$, we show that Fibonacci/Sturmian hierarchies maximize codebook coverage efficiency among binary aperiodic tilings. Third, under long-range dependence, the resulting hierarchy achieves lower coding entropy than comparable periodic hierarchies. Fourth, redundancy decays super-exponentially with depth, whereas periodic systems remain locked at the depth where collapse occurs. We validate these results with Quasicryth, a lossless text compressor built on a ten-level Fibonacci hierarchy with phrase lengths ${2,3,5,8,13,21,34,55,89,144}$. In controlled A/B experiments with identical codebooks, the aperiodic advantage over a Period-5 baseline grows from $36{,}243$ B at 3 MB to $11{,}089{,}469$ B at 1 GB, explained by the activation of deeper hierarchy levels. On enwik9, Quasicryth achieves $225{,}918{,}349$ B $(22.59\%)$, with $20{,}735{,}733$ B saved by the Fibonacci tiling relative to no tiling.

연구 동기 및 목표

• Fibonacci hierarchical tiling이 periodic tilings와 달리 모든 깊이에서 붕괴하지 않는다는 것을 Demonstrate.
• Sturmian minimality와 balance가 압축 이점으로 어떻게 번역되는지 보여준다.
• deep lookups(까지 144-gram)로 확장된 multi-structure Fibonacci tiling compressor를 개발하고 검증한다.
• 이론적 결과와 제어 실험을 통해 비주기적 이점(aperiodic advantage)을 정량화한다.

제안 방법

• 입력을 단어 토큰으로 모델링하고 n-그램 up to 144 words에 대해 eleven Fibonacci-grammar level codebooks를 적용한다.
• 36개의 비주기적 타일링(골든 비율 및 비골든 무리수 포함)을 구성하고 블록당 점수 함수로 최적의 타일링을 선택한다.
• 역 Fibonacci deflation을 사용해 deep substitution hierarchy를 구축하여 deep-lookup 위치를 가능하게 한다.
• 각 레벨 맥락, 캐시, 이중 계층 unigram 모델을 포함한 다층적 적응 산술 부호화를 사용한다.
• 산술 코딩 전에 단어 수준 LZ77을 적용해 반복을 포착하고, out-of-vocabulary 단어를 위한 별도 LZMA escape stream을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비주기적 Fibonacci tiling이 모든 깊이에서 0이 아닌 n-그램 조회 위치를 보존할 수 있는가?
• RQ2 정보이론적 측면에서 Fibonacci 계층 구조와 주기적 타일링 간의 커버리지, 효율성, 엔트로피 이점은 무엇인가?
• RQ3 멀티-타일링 엔진이 대형 코퍼스의 압축 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 계층 깊이가 증가함에 따라 중복성과 오버헤드의 확장성은 어떻게 되는가?

주요 결과

• Fibonacci tiling은 모든 깊이에서 두 종류의 타일을 보존하여 붕괴를 피한다. 이는 O(log p) 수준에서 붕괴하는 주기적 tilings와 대비된다.
• 레벨당 잠재적 단어 커버리지는 깊이와 무관하게 Wφ/√5로 수렴한다(Golden Compensation).
• Sturmian codebook 효율은 레벨 m에서 비주기적 tilings의 최대에 도달하며 정확히 Fm+1 패턴과 효율은 Cm/(Fm+1)이다.
• 단어별 플래그 엔트로피는 1/φ ≈ 0.618 bits/word로 한정되어 깊이에 따른 구문 파싱 오버헤드를 제한한다.
• 장거리 의존 소스의 경우 Fibonacci 계층 구조는 붕괴하는 주기적 tiling보다 분명히 낮은 단어당 코딩 엔트로피를 제공한다(엔트로피 이점).
• Fibonacci 계층의 중복성은 O(exp(-φ^m/λ))로 초지수적으로 감소하는 반면, 주기적 tilings는 고정된 지수 감소를 보인다.