[논문 리뷰] Aperiodic Subshifts on Polycyclic Groups

Emmanuel Jeandel|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 08.

Cellular Automata and Applications참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비선형 성장성을 가지는 모든 다형군(polycyclic group)이 강력한 비주기성을 갖는 유한형상 하위격자(Strongly Aperiodic Subshift of Finite Type, SFT)를 갖으며, 딱두리 문제(Domino Problem)가 결정 불가능하다는 것을 증명한다. 정규부분군과 몫군을 이용한 군론적 구성 기법을 활용하여, 이전의 노름군과 자유 아벨군에 대한 결과를 일반화함으로써, 히르슈 수(Hirsch number)에 대한 구조적 귀납법을 통해 이러한 군들이 비주기 타일링과 결정 불가능한 타일링 문제를 지닌다는 것을 입증한다.

ABSTRACT

We prove that every polycyclic group of nonlinear growth admits a strongly aperiodic SFT and has an undecidable domino problem. This answers a question of [4] and generalizes the result of [2].

연구 동기 및 목표

• 비선형 성장성을 가지는 다형군이 강력한 비주기성 SFT를 갖는지 여부를 규명하는 것.
• 해당 군들에서 딱두리 문제의 결정 가능성을 조사하는 것.
• 이전의 노름군과 자유 아벨군에 대한 결과를 더 넓은 범위의 다형군으로 일반화하는 것.
• Carroll와 Penland가 제기한 비보편 순환적(Non-virtually-cyclic) 다형군에서 강력한 비주기성 SFT의 존재성에 관한 질문을 해결하는 것.

제안 방법

• 다형군의 히르슈 수에 대한 귀납법을 사용하여, 정규부분군의 연속적 확장을 통해 강력한 비주기성 SFT를 구성하는 것.
• 제2.1조를 적용하여, $ G/H $의 SFT를 $ G $로 올리는 방식으로, 적절한 조건 하에서 유한성과 비주기성을 유지하는 것.
• 제2.2조를 사용하여, 부분군 $ H $의 SFT를 더 큰 군 $ G $로 확장함으로써, 올린 SFT에서 점의 안정자(stabilizer)가 원래로부터 유도될 경우 유한함을 보장하는 것.
• 히르슈 수 ≥ 2인 모든 다형군이 $ \mathbb{Z}^2 $로 사상되는 유한지수 부분군을 포함하고 있으며, 이는 딱두리 문제의 결정 불가능성을 이행할 수 있음을 이용하는 것.
• 군 $ G $의 유한지수 부분군 $ G_1 $을 구성하여 $ G_1/H_1 \cong \mathbb{Z} $가 되게 하여, $ \mathbb{Z} $-확장에 대해 알려진 결과를 적용할 수 있도록 하는 것.
• 공명성(commensurability)과 준등장(quasi-isometry)에 의한 딱두리 문제의 불변성 덕분에, 준등장하는 군들 간에 결정 불가능성 결과를 이행하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 비선형 성장성을 가지는 다형군이 강력한 비주기성 SFT를 갖는가?
• RQ2 모든 비보편 순환적(Non-virtually-cyclic) 다형군에서 딱두리 문제가 결정 불가능한가?
• RQ3 강력한 비주기성 SFT의 존재성은 노름군에서 더 넓은 범위의 다형군으로 확장될 수 있는가?
• RQ4 어떤 군의 구조적 조건이 비주기성 SFT의 존재성과 딱두리 문제의 결정 불가능성 둘 다를 보장하는가?

주요 결과

• 비선형 성장성을 가지는 모든 다형군이 강력한 비주기성 SFT를 갖는다는 것이 입증되어, Carroll과 Penland가 제기한 열린 문제를 해결한다.
• 보편 순환적이지 않은 모든 보편 다형군(Virtually polycyclic group)에서 딱두리 문제가 결정 불가능하며, 이는 Ballier와 Stein의 노름군에 대한 결과를 다형군으로 일반화한 것이다.
• 히르슈 수 ≥ 2인 군들은 $ \mathbb{Z}^2 $로 사상되는 유한지수 부분군을 포함하며, 이는 결정 불가능성 결과의 이행을 가능하게 한다.
• 비주기성 SFT의 구성은 정규부분군과 몫군을 통한 귀납적 올림에 의존하며, 유한 생성성을 통해 일관성을 확보한다.
• 구성된 SFT의 임의의 점의 안정자는 유한하며, 이는 강력한 비주기성의 정의를 만족한다.
• 공명성에 의한 딱두리 문제와 SFT 존재성의 불변성 덕분에, 이러한 결과는 이러한 다형군과 공명성을 가지는 모든 유한 생성군으로까지 확장된다.