[논문 리뷰] Appendix: Chapman-Enskog Expansion in the Lattice Boltzmann Method

Jun Li|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 06.

Lattice Boltzmann Simulation Studies참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 체계적 확장 기법인 체프만-엔스코그 전개를 사용하여 격자 보울츠만 방법(LBM)에서 나비에-스토크스 방정식을 유도함으로써, LBM 모델 파라미터와 운동점성계수 사이의 직접적인 연결 고리를 확립한다. 주요 결과는 운동점성계수를 정확하게 제어할 수 있도록 해주는 해석적 공식 ν = (τ − 0.5)Δtc²/3이며, 마하 수와 쿤델 수가 작은 조건에서 LBM 시뮬레이션에 유용하다.

ABSTRACT

The Chapman-Enskog expansion was used in the lattice Boltzmann method (LBM) to derive a Navier-Stokes-like equation and a formula was obtained to correlate the LBM model parameters to the kinematic viscosity implicitly implemented in LBM simulations. The obtained correlation formula usually works as long as the model parameters are carefully selected to make the Mach number and Knudsen number small although the validity of Chapman-Enskog expansion that has a formal definition of time derivative without tangible mathematical sense is not recognized by many mathematicians.

연구 동기 및 목표

• 체프만-엔스코그 전개를 사용하여 격자 보울츠만 방법에서 나비에-스토크스 유사 방정식을 공식적으로 유도하는 것.
• LBM 모델 파라미터(τ, Δt, c)와 운동점성계수 ν 사이의 폐쇄형 관계를 확립하는 것.
• 체프만-엔스코그 전개가 형식적으로는 구체적인 의미를 지니지 못하더라도 LBM에서의 타당성을 검증하는 것.
• 모델 파라미터를 물리적 점성계수와 연결함으로써 비압축성 유체 흐름의 정확한 시뮬레이션을 가능하게 하는 것.
• 전개로부터 유도된 변형률률 텐서 공식을 활용해 LBM에서 대규모 난류 시뮬레이션(Large Eddy Simulation, LES)을 지원하는 것.

제안 방법

• 분포 함수 fα를 fα = feqα + f(1)α + f(2)α + …로 전개함으로써 LBM 방정식에 체프만-엔스코그 전개를 적용한다.
• 빠른(t₀) 및 느린(t₁) 동역학을 분리하기 위해 다중 척도 시간 전개 ∂t = ∂t₀ + ∂t₁ + …를 도입한다.
• LBM의 스트리밍 단계에 타일러 전개를 적용하여 시간 도함수와 공간 기울기를 포함한 진화 방정식을 표현한다.
• 평형 분포 함수로부터 0차 방정식을 유도하여 질량 및 운동량 보존을 복원한다.
• 1차 방정식을 풀어 f(1)α를 feqα의 시간 및 공간 도함수로 표현한다.
• f(1)α의 1차 모멘트를 계산하고 운동량 방정식에 대입하여 점성 응력 항을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체프만-엔스코그 전개를 어떻게 체계적으로 적용하여 격자 보울츠만 방법에서 나비에-스토크스 유사 방정식을 유도할 수 있는가?
• RQ2 LBM의 회복 시간 τ와 운동점성계수 ν 사이의 명시적 해석적 관계는 무엇인가?
• RQ3 체프만-엔스코그 전개가 LBM에서 유효한 조건은 무엇인가, 특히 마하 수와 쿤델 수에 관하여는 어떻게 되는가?
• RQ4 유도된 운동점성계수 공식 ν = (τ − 0.5)Δtc²/3은 비압축성 유동에서 물리적 점성계수와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 전개로부터 유도된 변형률률 텐서 표현식은 LBM 내에서 대규모 난류 시뮬레이션(Large Eddy Simulation, LES)에 효과적으로 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 다중 척도 점근 해석 분석 하에서 체프만-엔스코그 전개가 나비에-스토크스 유사 방정식을 성공적으로 복원함을 확인하였다.
• 유도된 운동점성계수는 ν = (τ − 0.5)Δtc²/3로 주어지며, 이는 모델 파라미터와 물리적 점성계수를 직접 연결한다.
• 마하 수와 쿤델 수가 작을 경우 전개가 유효하여 점근 전개가 일관성을 유지함을 보장한다.
• 변형률률 텐서는 ∑α eα,i eα,j f(1)α = −τΔt[c²ρ/3(∂ui/∂xj + ∂uj/∂xi) − ∂(ρuiujuk)/∂xk]로 유도되어 LES 응용이 가능하다.
• 밀도 변화와 비선형 항이 무시 가능한 조건에서 전개로부터 유도된 운동량 방정식은 표준 비압축성 나비에-스토크스 형태와 일치한다.
• 평형 분포 함수의 성질 ∑α fα = ρ 및 ∑α eα,i fα = ρui를 통해 질량 및 운동량 보존이 보장된다.