[논문 리뷰] Application of an accurate remainder term in the calculation of Residue Class Distributions

Colin Myerscough|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 08.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 소수의 잔여류 분포를 계산하는 데 사용되는 정확한 나머지 항을 개발하여 소수 수의 경쟁에서 로그 주파수를 추정하는 정밀도를 크게 향상시킨다. 초기 추정치에는 다섯 개의 리만 제타 함수 영만을 사용하고, 고정밀도 결과에는 100개 미만의 영을 사용함으로써 여러 방법 간에 0.001% 이내의 일치를 달성하며, pi(x) > Li(x) + 5*Li(sqrt(x))와 같은 극단적 편차의 빈도가 8.649×10^(-12477)임을 정확하게 계산할 수 있게 한다.

ABSTRACT

This paper uses concepts introduced by Fiorilli and Martin to develop a more accurate remainder term in calculations of the distribution of primes in residue classes. Using it in Rubinstein and Sarnak's method estimates the limiting logarithmic frequency of pi(x)>Li(x) as 0.00000026300 with only 5 zeta zeros used explicitly, and a reliable value between 0.000000262996732 and 0.000000262996733 is obtained with fewer than 100 zeros. Accurate results for "prime number races" can usually be obtained with explicit use of only the first zero of each L-function involved, thus bringing out their dependence on those zeros. For extreme deviations, the method of steepest descent can be applied, and the remainder approximated by an explicit formula together with a rapidly convergent series. This gives, for example, 8.649*10^(-12477) for the logarithmic frequency of pi(x)>Li(x)+5*Li(sqrt(x)). The Monach - Lamzouri model of the extreme distribution is developed to give close agreement with these results. The remainder can also be calculated explicitly as an asymptotic series. This allows good modelling of non-extreme races and the calculation of distributions by direct convolution. The three different methods agree to within 0.001% where they overlap in application. The distribution calculated from values of pi(x) for x<10^20 shows similar behaviour to the limiting distribution, but is somewhat further from normal.

연구 동기 및 목표

• 소수의 잔여류 분포 계산에서 나머지 항의 정확도를 향상시키기 위해.
• 높은 정밀도를 유지하면서도 큰 수의 제타 함수 영에 의존하는 것을 줄이기 위해.
• 비극단적이고 극단적인 소수 수의 경쟁을 일관되고 신뢰할 수 있는 결과로 모델링하기 위해.
• 이식 가능한 점근적 급수와 명시적 공식을 통해 나머지 항을 직접 계산할 수 있는 방법을 개발하기 위해.
• 기존 모델과 수치 데이터와의 교차 비교를 통해 방법의 정확도를 검증하기 위해.

제안 방법

• 피오릴리와 마틴의 개념을 응용하고 개선하여 소수 분포 계산을 위한 더 정확한 나머지 항을 유도한다.
• 루빈스타인과 사르나크의 방법을 적용하여 pi(x) > Li(x)의 점근적 로그 주파수를 추정하며, 오직 다섯 개의 제타 함수 영만을 사용하여 0.00000026300을 도출한다.
• 극단적 편차를 위해 가장 급격한 경로 방법을 사용하며, 명시적 공식과 빠르게 수렴하는 급수를 통해 나머지를 근사한다.
• 몬아흐-람조리 모델을 사용하여 극단적 분포를 기술하며, 계산된 결과와 밀도 있는 일치를 이룬다.
• 비극단적 소수 수의 경쟁을 모델링하기 위해 나머지 항을 점근적 급수로 표현하여 직접 콘볼루션을 가능하게 한다.
• 명시적 영 계산, 가장 급격한 경로 방법, 점근적 급수의 세 가지 서로 다른 방법 간에 겹치는 영역에서 0.001% 이내의 일치를 달성하며 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수 잔여류 분포 계산에서 제로의 수를 최소로 사용하면서도 더 정확한 나머지 항을 어떻게 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 소수의 수를 명시적으로 사용하는 제타 함수 영이 소수의 수가 많을 때 pi(x) > Li(x)의 로그 주파수는 얼마인가?
• RQ3 가장 급격한 경로 방법과 함께 명시적 나머지 공식을 사용하면 극단적 소수 수의 경쟁 편차를 정확히 모델링할 수 있는가?
• RQ4 몬아흐-람조리 모델은 수치적으로 계산된 극단적 소수 편차의 분포와 어느 정도 일치하는가?
• RQ5 나머지 항의 점근적 급수 표현은 직접 콘볼루션을 통해 비극단적 소수 수의 경쟁을 어느 정도 잘 모델링하는가?

주요 결과

• 오직 다섯 개의 제타 함수 영만을 명시적으로 사용함으로써, 이 방법은 pi(x) > Li(x)의 로그 주파수를 0.00000026300로 추정한다.
• 100개 미만의 제타 함수 영을 사용할 경우, 동일한 주파수에 대해 0.000000262996732에서 0.000000262996733 사이의 신뢰할 수 있는 추정치를 얻는다.
• pi(x) > Li(x) + 5*Li(sqrt(x))와 같은 극단적 편차의 경우, 이 방법은 로그 주파수 8.649×10^(-12477)을 계산한다.
• 명시적 영 계산, 가장 급격한 경로 방법을 통한 나머지 근사, 점근적 급수의 세 가지 방법 간에 겹치는 영역에서 0.001% 이내로 일치한다.
• x < 10^20인 수치 데이터는 점근적 분포와 유사하지만, 정규성에서 약간 더 멀리 떨어져 있다.
• 이 방법은 관련 L-함수의 첫 번째 영만을 사용하여 소수 수의 경쟁을 정확하게 모델링할 수 있게 하며, 이러한 영들에 대한 의존성을 부각시킨다.