[논문 리뷰] Application of Optimal Transport and the Quadratic Wasserstein Metric to Full-Waveform Inversion

Yunan Yang, Björn Engquist외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 15.

Seismic Imaging and Inversion Techniques참고 문헌 17인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 전파형역산(FWI)에서 기존의 $L^2$-노름 방법에 내재된 사이클 스트래핑과 노이즈 민감도 문제를 해결하기 위해 이차 Wasserstein 거리($W_2$)를 오차 함수로 사용하는 것을 제안한다. 지진 데이터를 확률 분포로 간주하고, Monge-Ampère 방정식 또는 트레이스별 1차원 최적 운반을 통해 최적 운반 비용을 계산함으로써, 전역 최소값으로의 빠르고 더 견고한 수렴이 가능해지며, Marmousi, Camembert 및 BP 모델에서의 수치 결과는 $L^2$-기반 FWI에 비해 해상도 향상과 모델 오차 감소를 보여준다.

ABSTRACT

Conventional full-waveform inversion (FWI) using the least-squares norm ($L^2$) as a misfit function is known to suffer from cycle skipping. This increases the risk of computing a local rather than the global minimum of the misfit. In our previous work, we proposed the quadratic Wasserstein metric ($W_2$) as a new misfit function for FWI. The $W_2$ metric has been proved to have many ideal properties with regards to convexity and insensitivity to noise. When the observed and predicted seismic data are regarded as two density functions, the quadratic Wasserstein metric corresponds to the optimal cost of rearranging one density into the other, where the transportation cost is quadratic in distance. The difficulty of transforming seismic signals into nonnegative density functions is discussed. Unlike the $L^2$ norm, $W_2$ measures not only amplitude differences, but also global phase shifts, which helps to avoid cycle skipping issues. In this work, we build on our earlier method to cover more realistic high-resolution applications by embedding the $W_2$ technique into the framework of the adjoint-state method and applying it to seismic relevant 2D examples: the Camembert, the Marmousi, and the 2004 BP models. We propose a new way of using the $W_2$ metric trace-by-trace in FWI and compare it to global $W_2$ via the solution of the Monge-Ampère equation. With corresponding adjoint source, the velocity model can be updated using the l-BFGS method. Numerical results show the effectiveness of $W_2$ for alleviating cycle skipping issues and sensitivity to noise. Both mathematical theory and numerical examples demonstrate that the quadratic Wasserstein metric is a good candidate for a misfit function in seismic inversion.

연구 동기 및 목표

• 기존의 $L^2$-노름 전파형역산(FWI)에서 발생하는 사이클 스트래핑과 노이즈 민감도 문제를 해결하기 위해 오차 함수를 이차 Wasserstein 거리($W_2$)로 대체함으로써 해결하고자 한다.
• 적절한 기울기 계산을 위한 인접 상태 방법과 통합 가능한 실용적이고 고해상도의 $W_2$ 기반 FWI 프레임워크를 개발하고자 한다.
• 전역 $W_2$ (Monge-Ampère 솔버를 통한)와 트레이스별 $W_2$ 계산 방식의 성능를 비교하여 실제 2차원 지진 모델에서의 성능를 평가하고자 한다.
• 노이즈가 있거나 부드럽지 않은 데이터 조건에서도 $W_2$ 기반 FWI가 $L^2$ 기반 FWI보다 더 빠른 수렴 속도와 낮은 모델 오차를 달성함을 입증하고자 한다.
• 이론적으로 $W_2$가 가지는 우수성(예: 볼록성, 단계 이동에 대한 민감도 없음)을 복잡한 지하 모델에서의 수치 실험을 통해 검증하고자 한다.

제안 방법

• 관측된 지진 데이터와 예측된 지진 데이터를 최적 운반을 위한 비음수 밀도 함수로 간주하여 확률 분포로 간주한다.
• 전역 2차원 최적 운반을 위해 Monge-Ampère 방정식의 해를 사용하여 $W_2$ 오차를 계산함으로써 운반 비용을 정확히 계산한다.
• 정확한 1차원 최적 운반 공식을 사용하여 트레이스별 $W_2$ 방법을 구현함으로써 개별 지진 트레이스에서의 빠르고 견고한 계산을 가능하게 한다.
• 최적 운반 지도의 기울기를 사용하여 $W_2$ 오차의 인접 소스를 유도함으로써 인접 상태 방법과의 통합을 가능하게 한다.
• l-BFGS 최적화 알고리즘을 사용하여 $W_2$ 기반 기울기와 인접 소스를 활용해 속도 모델을 업데이트한다.
• 특히 고해상도 모델에서 수렴성과 안정성을 향상시키기 위해 정규화 기법(예: 선형 스케일링)을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이차 Wasserstein 거리($W_2$)가 기존의 표준 $L^2$ 노름에 비해 사이클 스트래핑 문제를 효과적으로 완화할 수 있는가?
• RQ2 Monge-Ampère 솔버를 통한 전역 $W_2$ 방식과 트레이스별 $W_2$ 방식 간의 수렴 속도와 모델 정확도에서 성능는 어떻게 비교되는가?
• RQ3 $W_2$는 지진 역산에서 노이즈와 비부드러운 데이터에 대해 얼마나 높은 내성성을 가지는가?
• RQ4 $W_2$ 기반 FWI는 고주파수에서 $L^2$ 역산으로 추가로 정밀화할 수 있는 더 나은 초깃값을 생성하는가?
• RQ5 실제 2차원 모델에서 $W_2$ 기반 FWI의 안정성과 수렴성에 있어 신호 정규화의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• Marmousi 모델에서 $W_2$ 기반 FWI는 트레이스별 $W_2$ 접근 방식에 비해 수렴된 모델과 진짜 속도 모델 간의 $L^2$ 오차를 25% 낮게 달성했다.
• 트레이스별 $W_2$ 방법은 $L^2$ 기반 FWI와 해상도가 유사한 매끄러운 역산 결과를 도출했으며, 더 빠른 수렴 속도와 사이클 스트래핑 없음을 보였다.
• 20회의 트레이스별 $W_2$ 반복 후 생성된 거친 모델에서 시작하여, 동일한 반복 수에서 $W_2$ 역산이 $L^2$보다 낮은 모델 오차를 기록함으로써, 초깃값 생성 능력이 뛰어남을 입증했다.
• Monge-Ampère 솔버를 통한 전역 $W_2$ 접근 방식은 데이터 해상도에 더 강건했으며, 특히 데이터 기울기가 잘 해석될 경우에 유리했지만, 정확도를 확보하기 위해 더 높은 데이터 밀도가 필요했다.
• 결과에서 관찰된 진동형 잡음은 수치적 PDE 솔버 오류와 $W_2$의 노이즈에 대한 민감도 없음과 관련이 있었으며, TV 정규화가 이러한 영향을 완화시킬 수 있음을 시사했다.
• $W_2$ 기반 FWI는 표준 $L^2$ FWI와 유사한 계산 속도를 보였지만, 특히 사이클 스트래핑 상황에서 더 나은 수렴성과 해상도를 달성했다.