[논문 리뷰] Application of Tensor Neural Networks to Pricing Bermudan Swaptions

Raj Patel, Tomas Dominguez외 13명|arXiv (Cornell University)|2023. 04. 18.

Computational Physics and Python Applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 텐서 신경망(TNNs)을 사용하여 체일레트 이자율 모델 하에서 유럽형 및 버무디안 스왑션을 정가하는 방법을 제안한다. 텐서 분해를 활용하여 파라미터 수를 줄이고 학습 효율성을 향상시킨다. TNNs는 밀집 신경망과 롱스타프-스미스 회귀 방법보다 더 빠른 수렴 속도, 더 낮은 분산, 더 정확한 가격을 제공하며, 특히 고차원 설정에서 뛰어난 성능을 보인다.

ABSTRACT

The Cheyette model is a quasi-Gaussian volatility interest rate model widely used to price interest rate derivatives such as European and Bermudan Swaptions for which Monte Carlo simulation has become the industry standard. In low dimensions, these approaches provide accurate and robust prices for European Swaptions but, even in this computationally simple setting, they are known to underestimate the value of Bermudan Swaptions when using the state variables as regressors. This is mainly due to the use of a finite number of predetermined basis functions in the regression. Moreover, in high-dimensional settings, these approaches succumb to the Curse of Dimensionality. To address these issues, Deep-learning techniques have been used to solve the backward Stochastic Differential Equation associated with the value process for European and Bermudan Swaptions; however, these methods are constrained by training time and memory. To overcome these limitations, we propose leveraging Tensor Neural Networks as they can provide significant parameter savings while attaining the same accuracy as classical Dense Neural Networks. In this paper we rigorously benchmark the performance of Tensor Neural Networks and Dense Neural Networks for pricing European and Bermudan Swaptions, and we show that Tensor Neural Networks can be trained faster than Dense Neural Networks and provide more accurate and robust prices than their Dense counterparts.

연구 동기 및 목표

• 몬테카를로 방법과 회귀 기반 롱스타프-스미스 방법의 한계를 해결함으로써, 특히 옵션 가치를 과소평가하고 차원 수에 민감한 문제를 해결하고자 한다.
• 옵션 정가를 위한 고차원 후행 확률미분방정식(Backward SDEs)을 해결할 때 밀집 신경망(DNNs)의 계산 비효율성과 높은 메모리 요구량을 해결하고자 한다.
• 텐서 신경망(TNNs)이 더 적은 파라미터 수로 DNNs와 동일하거나 더 높은 정확도를 달성할 수 있음을 보여주고자 한다.
• 다요인 체일레트 모델에서 전통적 방법이 차원의 극복(curse of dimensionality)으로 인해 실패하는 상황에서 TNNs의 확장성과 견고성을 조사하고자 한다.
• 1-요인 및 3-요인 설정에서 TNNs가 DNNs와 LS 회귀 방법보다 가격 분산을 줄이고 수렴 속도를 향상시키는 것을 실증적으로 입증한다.

제안 방법

• 체일레트 모델 하에서 유럽형 및 버무디안 스왑션의 정가 문제를 후행-전행 확률미분방정식(FBSDEs) 시스템의 해법으로 재정의한다.
• 버무디안 스왑션의 각 행사 일자에서 가치 과정을 모델링하기 위해 피드포워드 신경망의 스택을 사용하며, 각 네트워크는 잠재적 행사 시간에 대응한다.
• 완전히 연결된 층의 가중치 행렬을 파arameterize하기 위해 텐서 분해(Tucker 또는 텐서 트레인)를 적용하여 텐서 신경망(TNNs)을 구현함으로써 파라미터 수를 극적으로 감소시킨다.
• FBSDE 수식에 기반한 손실 함수를 사용하여 확률적 경사 하강법으로 TNNs를 학습시키며, 예측된 계속 가치와 진짜 계속 가치 간의 평균 제곱오차를 최소화한다.
• 공정한 벤치마킹을 위해 동일한 아키텍처, 하이퍼파라미터, 난수 시드를 사용하여 TNNs를 DNNs와 롱스타프-스미스(LS) 회귀 방법과 비교한다.
• 수렴 속도, 파라미터 수, 손실 변화 곡선, 최종 옵션 가격의 표준 오차 등 다양한 지표를 통해 성능을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 텐서 신경망은 저차원 및 고차원 체일레트 모델에서 롱스타프-스미스 회귀 방법과 밀집 신경망보다 더 정확하고 견고한 버무디안 스왑션 정가를 제공할 수 있는가?
• RQ2 유사한 네트워크 깊이와 너비를 가진 DNNs와 비교했을 때 TNNs는 얼마나 파라미터 수와 학습 시간을 줄일 수 있는가?
• RQ3 모델 복잡도가 증가함에 따라 LS 회귀와 DNN 간의 성능 격차가 줄어들고, TNNs가 이 격차를 더 효과적으로 메울 수 있는가?
• RQ4 다양한 요인 수에 따라 TNNs와 DNNs의 손실 수렴 속도와 옵션 가격 추정의 분산 측면에서의 성능을 비교하면 어떻게 되는가?
• RQ5 기존 몬테카를로 방법과 유한차분 방법이 실패하는 고차원 이자율 모델으로 확장할 때 TNNs는 정확성과 효율성을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 3-요인 및 1-요인 모델에서 손실 변화 곡선을 통해 TNNs가 파라미터 수가 유사한 DNNs보다 더 빠른 수렴 속도를 보였음을 확인했다.
• 행사율 K=0.00인 3-요인 체일레트 모델에서 TNN 정가는 $0.120이었고, 이는 LS 회귀 정가 $0.110보다 유의미하게 높아, TNNs가 LS 방법에서 흔히 발생하는 과소평가 문제를 피하는 것으로 나타났다.
• 3-요인 모델에서 LS와 TNN 간의 150 basis point의 가격 격차는 저차수 다항식 회귀 분석으로 인한 과소적합(underfitting) 때문이며, 이는 1-요인 모델에서 30 basis point의 더 작은 격차로 검증되었다.
• 1-요인 모델에서 TNN과 DNN은 거의 동일한 가격으로 수렴하였고 표준 오차는 극히 미미하여, TNNs의 신뢰성과 정확성이 모델 복잡도가 낮아질 경우에도 입증되었다.
• TNNs는 DNNs보다 더 낮은 분산과 더 작은 표준 오차를 보이며 최적화 과정에서 더 높은 견고성과 안정성을 보였다.
• TNNs는 정확도를 유지하거나 향상시키면서도 훨씬 더 적은 학습 가능한 파라미터를 제공하여, DNNs보다 더 메모리 효율적이고 확장 가능한 구조를 확보하였다.