[논문 리뷰] Application of the Level-$2$ Quantum Lasserre Hierarchy in Quantum Approximation Algorithms

Ojas Parekh, Kevin Thompson|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 01.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 QMA-완전한 양자 Max Cut 문제에 대해 수준-2 양자 Lasserre 계층 구조를 처음으로 적용한 양자 근사 알고리즘을 제시한다. 얽힘의 단일성 제약 조건과 수준-2 SDP 근사에 기반한 새로운 라운딩 절차를 활용하여, 저자들은 0.531의 근사 인자(근사도)를 달성하였으며, 이는 이전의 제품 상태 방법보다 향상된 성능이다. 또한 수준-1이 충족하지 못하는 물리적으로 일관된 경계를 수준-2가 제공함을 보여주었다.

ABSTRACT

The Lasserre Hierarchy is a set of semidefinite programs which yield increasingly tight bounds on optimal solutions to many NP-hard optimization problems. The hierarchy is parameterized by levels, with a higher level corresponding to a more accurate relaxation. High level programs have proven to be invaluable components of approximation algorithms for many NP-hard optimization problems. There is a natural analogous quantum hierarchy, which is also parameterized by level and provides a relaxation of many (QMA-hard) quantum problems of interest. In contrast to the classical case, however, there is only one approximation algorithm which makes use of higher levels of the hierarchy. Here we provide the first ever use of the level-$2$ hierarchy in an approximation algorithm for a particular QMA-complete problem, so-called Quantum Max Cut. We obtain modest improvements on state-of-the-art approximation factors for this problem, as well as demonstrate that the level-$2$ hierarchy satisfies many physically-motivated constraints that the level-$1$ does not satisfy. Indeed, this observation is at the heart of our analysis and indicates that higher levels of the quantum Lasserre Hierarchy may be very useful tools in the design of approximation algorithms for QMA-complete problems.

연구 동기 및 목표

• 제품 상태 해법을 넘어서는 새로운 양자 근사 알고리즘을 개발하여 QMA-완전한 양자 Max Cut 문제를 해결하는 것.
• 수준-1과 비교해 더 날카운 물리적 일관성 있는 근사를 제공하는 수준-2 양자 Lasserre 계층의 유용성을 입증하는 것.
• 양자 근사에서 물리적 제약(예: 얽힘의 단일성)과 준선형계획법 근사 간 격차를 메우는 것.
• 기존 제품 상태 방법의 0.498 이론적 한계를 넘어서 양자 Max Cut의 최고 근사 인자를 향상시키는 것.
• 수준-1이 충족하지 못하는 비트리버스한 양자 제약 조건을 수준-2 Lasserre 근사가 포착함을 보여주는 것.

제안 방법

• 수준-2 양자 Lasserre 계층을 적용하여 양자 Max Cut 문제를 근사화함으로써, 수준-1보다 더 날카운 경계를 갖는 준선형계획법 문제를 도출한다.
• 이전에 Lieb-Mattis 이론으로부터 유도된 얽힘의 단일성 부등식을 제약 조건으로 사용하며, 이는 수준-2 근사에 자연스럽게 만족된다.
• 제품 상태에 의존하지 않고 수준-2 SDP 해를 기반으로 얽힌 양자 상태를 구성하는 라운딩 알고리즘을 설계한다.
• 하이브리드 라운딩 전략 도입: SDP 해를 기반으로 제품 상태가 아닌 비제품 상태를 구성하고, 별도로 제품 상태 변형의 성능을 경계한다.
• 해결 가능한 수준-2 근사의 타당성을 입증하기 위해, 주로 차수-2 정점 및 홀수 사이클 제약 조건을 만족하는지 검증한다.
• 차수-2 그래프(경로 및 사이클)에서의 동적 프로그래밍을 활용하여 선형 시간 내에 최대 무게 매칭을 계산함으로써, 라운딩 절차에 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수준-2 양자 Lasserre 계층은 QMA-완전 문제에 대해 효과적인 근사 알고리즘 설계에 활용될 수 있는가?
• RQ2 수준-1 계층이 포착하지 못하는 물리적으로 유도된 제약 조건(예: 얽힘의 단일성)을 수준-2 계층이 충족하는가?
• RQ3 수준-2 기반 알고리즘이 기존 제품 상태 방법보다 양자 Max Cut의 더 높은 근사 인자를 달성할 수 있는가?
• RQ4 물리적 경계(예: Lieb-Mattis 이론)와 양자 Lasserre 계층 간에 공식적인 연결 고리가 존재하는가?
• RQ5 수준-2 SDP에 기반한 라운딩 알고리즘이 증명 가능한 근사 보장을 갖는 비제품 양자 상태를 생성할 수 있는가?

주요 결과

• 수준-2 양자 Lasserre 계층은 양자 Max Cut 문제에 대해 0.531의 근사 인자를 제공하며, 이는 이전 제품 상태 방법의 0.498766보다 향상된 성능이다.
• 수준-2 근사가 수준-1 계층이 충족하지 못하는 얽힘의 단일성 제약 조건을 충족함으로써 물리적으로 일관된 근사를 제공한다.
• 저자들은 Lieb-Mattis 얽힘의 단일성 경계와 양자 Lasserre 계층의 두 번째 수준 간의 첫 번째 명시적 연결 고리를 확립하였다.
• 더 약한 근사, 특히 수준-1은 얽힘의 단일성 경계를 유도하지 못하며, 이는 고차수 계층이 필요함을 보여준다.
• 알고리즘의 제품 상태 근사 구성 요소는 SDP 값이 낮은 간선들(xij ≤ 5/9)에 대해 0.557931의 근사 인자를 달성하며, 이는 최악의 경우 0.498766을 초월한다.
• 라운딩 알고리즘은 고SDP 값 간선의 그래프에서 최대 무게 매칭을 사용하며, 이는 차수 제한(≤2) 덕분에 선형 시간 내에 계산된다.