[논문 리뷰] Applications of random matrix theory to condensed matter and optical physics

C. W. J. Beenakker|arXiv (Cornell University)|2009. 04. 09.

Random lasers and scattering media참고 문헌 12인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 응집물질 및 광학계에서의 일반적인 전도도 및 스펙트럼 현상에 랜덤 매트릭스 이론(RMT)을 적용하여, 고유값의 상호배제가 양자 와이어에서의 전도도 변동과 양자 점에서의 샷노이즈를 지배함을 보여주며, 비에르미트 해밀토니안과 산란행렬 통계를 통해 혼합된 공진자에서 레이저 진동수 임계값과 선폭을 RMT로 예측함.

ABSTRACT

This is a cursory overview of applications of concepts from random matrix theory (RMT) to quantum electronics and classical & quantum optics. The emphasis is on phenomena, predicted or explained by RMT, that have actually been observed in experiments on quantum wires, quantum dots, disordered wave guides, and chaotic resonators. Topics considered include universal conductance fluctuations, weak localization and coherent backscattering, sub-Poissonian shot noise and open transmission channels, non-Gaussian conductance and thermopower distributions, mesoscopic superconductivity, grey-body radiation, and chaotic laser cavities.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 매트릭스 이론(RMT)을 기반으로, 고유값 상호배제에 의해 기초지어진 비순환 금속 와이어에서의 전도도 변동의 보편성을 확립함.
• RMT의 집합체를 통한 전도도 전이 고유값 통계 분석을 통해, 양자 점에서의 보다 낮은 포아송 노이즈를 설명함.
• RMT 기반의 갭 변동 모델을 사용하여 초전도성 접합계에서의 양자-고전 전이를 기술함.
• 랜덤 매체에 대한 RMT를 사용하여, 고전 광학에서의 간섭무늬 및 산란 패턴을 공명 백산산란과 함께 모델링함.
• 비에르미트 RMT를 사용하여 혼합된 레이저 공진자에서 레이저 모드의 통계적 성질과 샤울로-타운즈 선폭을 유도함.

제안 방법

• Dyson-Mehta 공식을 사용하여 고유값 선형 통계의 분산을 계산함으로써 대칭성 지수 $\beta$에 대한 보편적인 $1/\beta$ 의존성을 보임.
• 양자 와이어에서 전도도 전이 매트릭스 $t$ 에 RMT를 적용하여, $G = G_0 \sum_n T_n$ 에서 $T_n$ 이 $tt^\dagger$ 의 고유값임을 모델링함.
• 고유값 상호배제와 통계를 기술하기 위해 연속확률분포 $P(\{T_n\}) \propto \prod_{i<j} |T_i - T_j|^\beta \prod_i p(T_i)$ 를 사용함.
• 비에르미트 해밀토니안 $\mathcal{H} = H - i\pi WW^\dagger$ 를 사용하여 개방된 양자계를 모델링함. 여기서 $H$ 는 랜덤하고 $W$ 는 결합 매트릭스임.
• Weidenmüller 공식을 사용하여 산란행렬 $S(\omega)$ 를 유도함. 이때 극점은 $\mathcal{H}$ 의 복소 고유값에 대응함.
• 비유니타리 고유벡터에 기인한 비유니타리 성질을 고려하여 Petermann 요소 $K$ 를 $K = (U^\dagger U)_{00} (U^{-1}U^{-1\dagger})_{00}$ 로 분석함. 이는 분포가 넓고, 레이저 선폭을 증폭시킴을 보여줌.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 매트릭스 집합체에서의 보편적인 고유값 상호배제는 양자 와이어에서의 전도도 변동을 어떻게 유도하는가?
• RQ2 왜 양자 점에서의 샷노이즈는 포아송 한계를 초월하여 보다 낮은가? RMT는 이를 어떻게 설명하는가?
• RQ3 혼합된 공진자에서 레이저 모드의 수는 무엇에 의해 결정되며, 모드 경쟁은 레이저 임계값에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 Petermann 요소 $K$ 는 개방된 레이저 공진자에서의 양자한계 선폭에 어떤 영향을 미치며, 그 통계적 분포는 어떻게 되는가?
• RQ5 랜덤 매체에서의 파동함수 상관관계와 간섭무늬 패턴은 고전 및 양자 광학에서 RMT 예측과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 10 mK에서의 금 와이어에서 관측된 전도도 변동의 제곱평균근은 $0.3\,e^2/h$ 로, $\beta=2$ 인 이론적 값인 $\sqrt{1/15}\,e^2/h$ 와 매우 유사함.
• 양자 점에서의 보다 낮은 포아송 노이즈는 전도도 전이 매트릭스의 고유값 상호배제에 기인하며, 이로 인해 분산이 $1/\beta$ 에 의해 억제됨.
• 혼합된 공진자에서의 평균 레이저 모드 수는 모드 경쟁에 의해 $\bar{N}_{\text{lasing}} \propto \bar{N}_\sigma^{2/3}$ 으로 비례함.
• Petermann 요소 $K$ 는 넓고 비대칭적인 분포 $P(K|\Gamma_0) \propto (K-1)^{-2-3\beta/2}$ 를 가지며, 이는 샤울로-타운즈 한계를 초월하는 선폭 증가를 초래함.
• 약한 결합 한계에서는 $K=1$ 이지만, 일반적으로 $K \geq 1$ 이며, $K>1$ 은 비에르미트 해밀토니안의 비유니타리 고유벡터에 기인함.
• 샤울로-타운즈 선폭은 $K$ 에 의해 증폭되며, $\delta\omega = \frac{1}{2}K\Gamma_0^2/I$ 로 표현됨. 여기서 $K$ 는 통계적으로 분포되어 있으며 종종 크게 나타남.