[논문 리뷰] Applications of the duality between the Complex Monge-Ampère Equation and the Hele-Shaw flow

Julius Ross, David Witt Nyström|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 09.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 동차 복소 망게-암페르 방정식(HCMA)과 힐레-쇼우 흐름 사이의 이중성에 두 가지 응용을 제시한다. 첫째, $\mathbb{P}^1 \times \overline{\mathbb{D}}$에서의 약한 해가 사전에 정해진 유한 점 집합이나 $\mathbb{P}^1 \times \partial\mathbb{D}$의 codimension-one 부분집합에서 두 번 미분 가능하지 않은 매끄러운 경계 데이터를 구성한다. 둘째, 이 이중성을 이용해 $\mathbb{P}^1$ 및 $\mathbb{D}$ 위의 카플러 메트릭 공간에서의 매끄러운 지오데식 레이를 명시적으로 구성한다. 이는 증가하는, 매끄럽게 변화하는 단순연결 영역의 가 Families를 통해 이루어진다.

ABSTRACT

We give two applications of the the duality between the complex Homogeneous Monge-Ampère Equation (HMAE) and the Hele-Shaw flow. First, we prove existence of smooth boundary data for which the weak solution to the Dirichlet problem for the HMAE over $\mathbb P^1 imes \overline{\mathbb D}$ is not twice differentiable at a given collection of points, and also examples that are not twice differentiable along a set of codimension one in $\mathbb{P}^1 imes \partial \mathbb{D}$. Second, we produce explicit families of smooth geodesic rays in the space of Kähler metrics on $\mathbb P^1$ and on the unit disc $\mathbb D$ that are constructed from an exhausting family of increasing smoothly varying simply connected domains.

연구 동기 및 목표

• 약한 해가 $\mathbb{P}^1 \times \overline{\mathbb{D}}$에서 사전에 정해진 유한 점 집합이나 경계의 codimension-one 부분집합에서 $C^2$가 아닐 수 있음을 보여주기 위해, HCMA의 약한 해가 특정한 유한 점 집합이나 경계의 codimension-one 부분집합에서 두 번 미분 가능하지 않은가를 입증한다.
• 힐레-쇼우 흐름과의 이중성을 이용해 $\mathbb{P}^1$ 및 $\mathbb{D}$ 위의 카플러 메트릭 공간에서의 명시적 매끄러운 지오데식 레이의 가족을 구성한다.
• 경계 데이터와 도메인 진화를 통해 HCMA 해의 특이성의 위치와 구조를 제어할 수 있는 방법을 제공한다.
• 고립된 특이성 외에도 Mabuchi 공간의 카플러 포텐셜 지오데식 세그먼트 및 레이에서의 정규성 실패에 대한 이해를 확장한다.

제안 방법

• 이전 연구에서 확립된 HCMA와 힐레-쇼우 흐름 사이의 이중성을 활용하여, 힐레-쇼우 흐름의 자유 경계 역학을 이용해 HCMA 해의 특이성을 분석한다.
• 경계 조건 $\Phi(z,\tau) = \phi(\tau z)$를 만족하는 $\omega$-다중하나형 함수들의 엔벨로프로 약한 해 $\Phi$를 구성한다.
• 하나의 하부레벨 집합 $\Omega_t = \{z : \psi_t(z) < \phi(z)\}$을 통해 정의된 힐레-쇼우 흐름을 사용한다. 여기서 $\psi_t$는 원점에서 사전에 정해진 Lelong 차수를 가지는 $\omega$-다중하나형 함수들의 상한이다.
• 타원적 정규성 이론을 적용하여 시간에 따라 변화하는 도메인 $\Omega_t$의 경계에서 조화 함수의 해가 시간에 대해 매끄럽게 의존함을 보인다.
• 타원성과 $C^k$-유계성 조건을 이용해 라플라스 방정식의 해에 대해 $t$에 대한 섭동 전개를 적용하여 시간에 대한 매끄러움을 증명한다.
• 경계 조건이 주어진 딜레르흐 문제의 해의 조화 졸수를 이용해 $f_t: \mathbb{D} \to \Omega_t$의 리만 사상 함수를 구성하여 $t$에 대해 매끄럽게 의존함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Can one construct smooth boundary data for the HCMA on $\mathbb{P}^1 \times \overline{\mathbb{D}}$ such that the weak solution fails to be $C^2$ at a prescribed finite set of points?
• RQ2 Can the singular set of the HCMA solution be made to contain a codimension-one subset of $\mathbb{P}^1 \times \partial\mathbb{D}$, and if so, under what boundary data?
• RQ3 Can the duality with Hele-Shaw flow be used to explicitly construct smooth geodesic rays in the space of Kähler metrics on $\mathbb{P}^1$ and $\mathbb{D}$?
• RQ4 How does the smooth variation of simply connected domains $\Omega_t$ in the complex plane affect the regularity of associated harmonic and holomorphic functions?

주요 결과

• 임의의 유한 점 집합 또는 $\mathbb{P}^1 \setminus \{0\}$ 내의 교차하지 않는 매끄러운 곡선 세그먼트 $S$에 대해, 약한 해 $\Phi$가 $(\tau^{-1}z, \tau)$ 형태의 점들($z \in S$, $|\tau| = 1$)에서 두 번 미분 가능하지 않은 매끄러운 카플러 포텐셜 $\phi$가 존재한다.
• 논문은 $\mathbb{P}^1 \times \partial\mathbb{D}$ 내에서 codimension-one 부분집합에 따라 $\Phi$가 $C^2$가 아닐 수 있음을 보여주는 예를 구성한다. 이는 특이성이 반드시 고립되어 있음을 의미하지 않음을 시사한다.
• 증가하는, 매끄럽게 변화하는 단순연결 영역의 가우스 가족으로부터 $\mathbb{P}^1$ 및 $\mathbb{D}$ 위의 카플러 메트릭 공간에서의 명시적 매끄러운 지오데식 레이의 가족을 구성한다.
• 원점을 포함하고 $t$에 대해 매끄럽게 변화하는 $\Omega_t$에 대해, $\Delta p_t = -\delta_0$를 만족하고 $p_t|_{\partial\Omega_t} = 0$인 압력 함수 $p_t$는 $t$에 대해 매끄럽게 변화한다.
• $\partial\Omega_t$ 상에서의 기울기 $\nabla p_t$는 $\bigcup_{t} \partial\Omega_t$ 위의 매끄러운 벡터장이며, 이는 지오데식 레이를 구성하는 데 필수적이다.
• 리만 사상 함수 $f_t: \mathbb{D} \to \Omega_t$는 $\Omega_t$ 위의 딜레르흐 문제의 해의 조화 졸수를 이용해 구성되며, 이는 지오데식 레이 구성의 매끄러움을 보장한다.