[논문 리뷰] Applications of Uniform Sampling: Densest Subgraph and Beyond

Hossein Esfandiari, MohammadTaghi Hajiaghayi외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 15.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 8인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 동적 그래프 스트림에서 조밀한 부분그래프 문제를 위한 간단하면서도 강력한 균일 샘플링 기반 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘은 균일하게 임의로 Õ(n)개의 간선을 샘플링하고 샘플된 그래프에서 조밀한 부분그래프를 계산하여 Õ(n) 공간과 Õ(1) 업데이트 시간으로 (1−ϵ)-근사치를 달성한다. 이 접근법은 방향 조밀한 부분그래프, 조밀한 이분 부분그래프, d-max 컷, d-sum-max 클러스터링 등 넓은 범위의 '중요한 부분그래프 문제'로 확장되며, 이러한 문제들 중 일부에 대해선 처음으로 강력한 근사 보장을 갖춘 스트리밍 알고리즘을 제공한다.

ABSTRACT

Recently [Bhattacharya et al., STOC 2015] provide the first non-trivial algorithm for the densest subgraph problem in the streaming model with additions and deletions to its edges, i.e., for dynamic graph streams. They present a $(0.5-ε)$-approximation algorithm using $ ilde{O}(n)$ space, where factors of $ε$ and $\log(n)$ are suppressed in the $ ilde{O}$ notation. However, the update time of this algorithm is large. To remedy this, they also provide a $(0.25-ε)$-approximation algorithm using $ ilde{O}(n)$ space with update time $ ilde{O}(1)$. In this paper we improve the algorithms by Bhattacharya et al. by providing a $(1-ε)$-approximation algorithm using $ ilde{O}(n)$ space. Our algorithm is conceptually simple - it samples $ ilde{O}(n)$ edges uniformly at random, and finds the densest subgraph on the sampled graph. We also show how to perform this sampling with update time $ ilde{O}(1)$. In addition to this, we show that given oracle access to the edge set, we can implement our algorithm in time $ ilde{O}(n)$ on a graph in the standard RAM model. To the best of our knowledge this is the fastest $(0.5-ε)$-approximation algorithm for the densest subgraph problem in the RAM model given such oracle access. Further, we extend our results to a general class of graph optimization problems that we call heavy subgraph problems. This class contains many interesting problems such as densest subgraph, directed densest subgraph, densest bipartite subgraph, $d$-cut and $d$-heavy connected component. Our result, by characterizing heavy subgraph problems, partially addresses open problem 13 at the IITK Workshop on Algorithms for Data Streams in 2006 regarding the effects of subsampling in this context.

연구 동기 및 목표

• 간선 삽입과 삭제가 가능한 동적 그래프 스트림에서 조밀한 부분그래프 문제를 위한 빠르고 공간 효율적인 스트리밍 알고리즘을 개발하는 것.
• 이전의 스트리밍 알고리즘들이 높은 공간 소비나 느린 업데이트 시간으로 (0.5−ϵ) 또는 (0.25−ϵ)-근사치를 제공한 데 비해 이를 향상시키는 것.
• 균일 샘플링의 적용 범위를 '중요한 부분그래프 문제'라 불리는 넓은 범위의 그래프 최적화 문제로 일반화하는 것. 이에는 조밀한 부분그래프, 방향 조밀한 부분그래프, 조밀한 이분 부분그래프, d-max 컷, d-sum-max 클러스터링 등이 포함된다.
• IITK 데이터 스트림 워크숍의 열린 문제 13인 샘플링의 영향에 관한 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 핵심 방법은 입력 그래프 스트림에서 균일하게 임의로 Õ(n)개의 간선을 샘플링하고, 샘플된 그래프에서 조밀한 부분그래프를 계산하는 것이다.
• 알고리즘은 리저보어 샘플링 또는 유사 기법을 사용하여 간선의 균일한 랜덤 샘플을 유지함으로써 Õ(n) 공간과 간선당 Õ(1) 업데이트 시간을 보장한다.
• 이 방법은 샘플된 그래프에서의 조밀한 부분그래프가 높은 확률로 전체 그래프의 조밀한 부분그래프를 근사함을 이용하며, (1−ϵ)-근사치를 달성한다.
• 목적 함수가 국소 선형성, 유전성, 그리고 γ-한계 조건을 만족함을 증명함으로써 이 접근법을 '중요한 부분그래프 문제'로 일반화한다. 이는 균일 샘플링이 근사 보장을 유지함을 보장한다.
• 각 문제 유형에 대해, 해 공간, 국소 밀도 함수 f, 그리고 γ 매개수를 정의하여 γ-한계 조건이 성립함을 보장함으로써 샘플링 방법이 (1−ϵ)-근사치를 유지함을 보장한다.
• 모서리 액세스가 가능한 RAM 모델에서 알고리즘은 Õ(n) 시간에 효율적으로 구현되며, 이는 이러한 액세스 조건 하에서 알려진 바 있는 (0.5−ϵ)-근사치 알고리즘 중 가장 빠른 것이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균일 샘플링을 사용하여 동적 그래프 스트림에서 Õ(n) 공간과 간선당 Õ(1) 업데이트 시간으로 (1−ϵ)-근사치를 달성할 수 있는가?
• RQ2 균일 샘플링 접근법은 조밀한 부분그래프를 넘어서 다른 그래프 최적화 문제로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 어떤 문제의 구조적 성질이 스트리밍 환경에서 균일 샘플링이 (1−ϵ)-근사치를 유지하도록 보장하는가?
• RQ4 균일 샘플링은 그래프 스트림에서의 샘플링 문제, 특히 조밀한 이분 부분그래프 및 d-max 컷 문제에 대해 열린 문제 13을 해결하는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 동적 그래프 스트림에서 Õ(n) 공간과 간선당 Õ(1) 업데이트 시간으로 (1−ϵ)-근사치를 달성한다.
• 이 방법은 개념적으로 단순하다: 균일하게 임의로 Õ(n)개의 간선을 샘플링하고, 그 샘플에서 조밀한 부분그래프를 계산하면 높은 정확도의 근사치를 높은 확률로 얻을 수 있다.
• 이 알고리즘은 동적 스트리밍 모델에서 Õ(n) 공간과 Õ(1) 업데이트 시간으로 (1−ϵ)-근사치를 달성하는 최초의 알고리즘이며, 이전의 (0.5−ϵ) 및 (0.25−ϵ) 근사치에 비해 더 나은 업데이트 시간을 제공한다.
• 이 방법은 조밀한 부분그래프, 방향 조밀한 부분그래프, 조밀한 이분 부분그래프, d-max 컷, d-sum-max 클러스터링 등 넓은 범위의 '중요한 부분그래프 문제'로 일반화되며, 이러한 문제들에 대해 처음으로 상수 요인 근사 보장을 갖춘 스트리밍 알고리즘을 제공한다.
• d-sum-max 클러스터링 문제의 경우, γ = (n−2d)/(n log d)로 설정함으로써 γ-한계 조건이 성립하고 샘플링 하에 근사 품질이 유지됨을 보장하여 (1−ϵ)-근사치를 달성한다.
• 모서리 액세스가 가능한 RAM 모델에서 알고리즘은 Õ(n) 시간에 실행되며, 이러한 액세스 조건 하에서 알려진 바 있는 (0.5−ϵ)-근사치 알고리즘 중 가장 빠른 것이다.