[논문 리뷰] Applied Type System: An Approach to Practical Programming with Theorem-Proving

Hongwei Xi|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 25.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 종속형 타입을 활용한 실용적 프로그래밍을 가능하게 하는 공식적 프레임워크인 응용형 타입 체계(ATS)를 소개한다. 정적 타입 추론과 동적 프로그램 실행을 분리함으로써, 명시적 증명 구축을 통한 정리 증명을 지원하고, 증명 제거를 통한 제약 조건 해결과 함께 타입 안정성을 보장한다. 이는 핵심 타입 체계로의 번역을 통한 정확성의 공식적 증명을 수반한다.

ABSTRACT

The framework Pure Type System (PTS) offers a simple and general approach to designing and formalizing type systems. However, in the presence of dependent types, there often exist certain acute problems that make it difficult for PTS to directly accommodate many common realistic programming features such as general recursion, recursive types, effects (e.g., exceptions, references, input/output), etc. In this paper, Applied Type System (ATS) is presented as a framework for designing and formalizing type systems in support of practical programming with advanced types (including dependent types). In particular, it is demonstrated that ATS can readily accommodate a paradigm referred to as programming with theorem-proving (PwTP) in which programs and proofs are constructed in a syntactically intertwined manner, yielding a practical approach to internalizing constraint-solving needed during type-checking. The key salient feature of ATS lies in a complete separation between statics, where types are formed and reasoned about, and dynamics, where programs are constructed and evaluated. With this separation, it is no longer possible for a program to occur in a type as is otherwise allowed in PTS. The paper contains not only a formal development of ATS but also some examples taken from ats-lang.org, a programming language with a type system rooted in ATS, in support of employing ATS as a framework to formulate advanced type systems for practical programming.

연구 동기 및 목표

• 종속형 타입 하에서 일반적 재귀, 효과, 재귀적 타입과 같은 현실적인 프로그래밍 기능을 지원하지 못하는 순수 타입 체계(PTS)의 한계를 해결하기 위해.
• 고도진 타입, 특히 종속형 타입과 가드형 타입을 지원하는 실용적 프로그래밍을 위한 프레임워크를 공식화하기 위해.
• 증명이 명시적으로 구성되는 프로그래밍과 정리 증명(PwTP)의 타이핑 이론적 기반을 마련하기 위해.
• 증명 제거가 효과가 존재하는 상황에서도 동적 의미를 유지하면서 타입 안정성을 보장하는 방식으로 보존되는지 확인하기 위해.
• 이전의 종속형 ML과 가드형 재귀적 자료형에 대한 연구를 통합하고 확장하여 하나의 표현력 있고 공식화된 타입 체계 프레임워크로 제시하기 위해.

제안 방법

• 정적(타입 형성 및 추론)과 동적(프로그램 구성 및 평가) 간의 완전한 분리를 도입하며, 타입 내 프로그램을 금지한다.
• 두 가지 핵심 타입 형식을 정의한다: 관계형 불변량(예: 사전 및 사후 조건)을 표현하기 위한 가드형 타입과 증명 수준의 제약 조건을 위한 주장형 타입.
• 최소한의 핵심 시스템인 $\mbox{ATS}_{0}$를 정의하고, 그 타입 안정성을 증명한다.
• $\mbox{ATS}_{0}$를 프로그래밍과 정리 증명(PwTP)을 지원하는 $\mbox{ATS}_{\it pf}$로 확장한다. 이 경우 증명은 명시적으로 구성된다.
• 잘 타입된 $\mbox{ATS}_{\it pf}$ 프로그램을 동일한 동적 의미를 가지는 $\mbox{ATS}_{0}$ 프로그램으로 변환하기 위해 증명 제거 번역을 사용한다.
• 증명 제거의 정당성을 확립하기 위해, $\mbox{ATS}_{\it pf}$에서 잘 타입화된 프로그램이 증명 제거 후에도 $\mbox{ATS}_{0}$에서 잘 타입화됨을 보장하는 공식적 증명을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 타입 체계가 참조와 예외와 같은 효과를 수용하면서도 종속형 타입을 활용한 실용적 프로그래밍을 지원할 수 있는가?
• RQ2 어떤 공식적 메커니즘이 프로그램과 증명이 문법적으로 혼합되더라도 타입 안정성을 해치지 않도록 보장하는가?
• RQ3 증명 제거가 동적 의미를 유지하면서도 타입 안정성을 보장하기 위해 어떻게 공식적으로 정당화될 수 있는가?
• RQ4 정적와 동적를 분리함으로써 종속형 타입 체계에서 프로그램에 대한 순수 추론이 더 이상 필요로 하지 않는 이유는 무엇인가?
• RQ5 어떻게 가드형 타입과 주장형 타입을 사용하여 타입 체계에서 프로그램 불변량을 표현하고 강제할 수 있는가?

주요 결과

• ATS에서 정적와 동적를 분리함으로써, 종속형 타입 체계에서 프로그램에 대한 순수 추론이 더 이상 필요로 하지 않게 되었으며, 이는 효과와 일반적 재귀의 실용적 지원을 가능하게 하였다.
• 프레임워크 $\mbox{ATS}_{0}$는 공식적으로 타입 안정성이 입증되어 고도진 타입 체계의 견고한 기반을 마련하였다.
• $\mbox{ATS}_{\it pf}$ 확장은 증명이 타입 검사 중 제약 조건 해결을 내재화하는 데 사용되는 정리 증명(PwTP) 프로그래밍을 지원한다.
• 증명 제거가 공식적으로 정당화되었다: $\mbox{ATS}_{\it pf}$에서 잘 타입화된 모든 프로그램은 동일한 동적 동작을 가지는 $\mbox{ATS}_{0}$ 프로그램으로 변환된다.
• 가드형 타입과 주장형 타입의 사용은 호어 논리의 사전 및 사후 조건과 유사하게 정확한 프로그램 불변량을 기술할 수 있게 한다.
• ATS는 종속형 ML과 가드형 재귀적 자료형에 대한 이전 연구를 통합하고 확장하여 하나의 표현력 있고 공식화된 타입 체계 프레임워크로 제시하였다.