[논문 리뷰] Applying the Fokker--Planck equation to grating-based x-ray phase and dark-field imaging

Kaye S. Morgan, David M. Paganin|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 04.

Advanced X-ray Imaging Techniques참고 문헌 62인용 수 40

한 줄 요약

이 논문은 격자 기반 X선 단면 및 어두운 영역 영상에서 이동(위상 신호)과 확산(어두운 영역 신호)을 모델링하기 위해 Fokker–Planck 방정식의 유한차분 형태를 적용하여 투과, 위상 및 어두운 영역 신호 간의 상호 간섭을 드러낸다. 이 방법은 빔렛 전파를 설명하는 통합 수학적 프레임워크를 제공하며, 특히 가장자리 유도 경계 회절파와 렌즈 효과를 포함한다. 또한 다중 대비 X선 영상에서의 역문제 해결을 위한 기초를 마련한다.

ABSTRACT

X-ray imaging has conventionally relied upon attenuation to provide contrast. In recent years, two complementary modalities have been added; phase contrast and dark-field x-ray imaging, capturing weakly attenuating and sub-pixel sample structures respectively. These three modalities can be accessed using a crystal analyser, a grating interferometer or by looking at a directly-resolved grid, grating or speckle pattern. Grating and grid-based methods extract a differential phase signal by measuring how far a feature in the illumination has been shifted transversely due to the presence of a sample. The dark-field signal is extracted by measuring how the visibility of the structured illumination is decreased, typically due to the presence of sub-pixel structures in a sample. The strength of the dark-field signal may depend on the grating period, the pixel size and the set-up distances, and additional dark-field signal contributions may be seen as a result of strong phase effects or other factors. In this paper we show that the finite-difference form of the Fokker--Planck Equation can be applied to describe the drift (phase signal) and diffusion (dark-field signal) of the periodic or structured illumination used in phase contrast x-ray imaging with gratings, in order to better understand any cross-talk between attenuation, phase and dark-field x-ray signals. In future work, this mathematical description could be used as a basis for new approaches to the inverse problem of recovering both phase and dark-field information.

연구 동기 및 목표

• 격자 기반 X선 영상에서 위상 대비와 어두운 영역 신호 간의 상호작용을 이해하기 위한 통합 수학적 프레임워크를 개발하는 것.
• Fokker–Planck 방정식을 사용하여 표본에 의해 유도된 빔렛 이동(위상)과 확산(어두운 영역)이 파면 진화로부터 어떻게 발생하는지 모델링하는 것.
• 특히 가장자리 부근과 집중 효과로 인해 발생하는 위상, 어두운 영역 및 투과 신호 간의 상호 간섭 효과를 조사하는 것.
• 원천 크기, 다색성 및 검출기 해상도와 같은 실제 영상 조건을 포함하여 Fokker–Planck 모델을 확장하는 것.
• 위상 및 어두운 영역 정보를 동시에 복원하는 미래의 역문제 해결을 위한 이론적 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• X선 빔렛의 확률 밀도 함수의 시간 진화를 기술하는 이원수 확률 과정으로서 Fokker–Planck 방정식을 수립한다.
• 유한차분 형태의 Fokker–Planck 방정식을 적용하여 위상 기울기와 산산패부에 의한 횡방향 빔렛 이동(이동, D1)과 확산(확산, D2)을 모델링한다.
• 다양한 표본 조건 하에서 Fokker–Planck 방정식을 해석적으로 풀어 후행 검출기 평면에서의 강도 프로파일을 유도한다.
• 경계 회절파(Young–Maggi–Rubinowicz 파)를 원천으로 삼아 가장자리 부근에서 증가한 어두운 영역 신호를 모델링함으로써 가장자리 효과를 통합한다.
• 표본을 얇은 렌즈로 간주하여 Fokker–Planck 방정식에 위치에 따라 달라지는 이동 및 확산 항을 도입함으로써 렌즈 효과를 모델링한다.
• 실제 영상 조건을 고려하여 모델을 확장한다: 검출기 픽셀 크기(가우시안 컨볼루션을 통한), 확장된 원천(원천 평균화 또는 추가된 확산 항을 통한), 다색 조명(스펙트럼 통합을 통한).

실험 결과

연구 질문

• RQ1 격자 기반 X선 영상에서 Fokker–Planck 방정식을 사용하여 위상 및 어두운 영역 신호의 동시 진화를 어떻게 모델링할 수 있는가?
• RQ2 물체 가장자리 부근에서 증가한 어두운 영역 신호의 근본 원인은 무엇이며, Fokker–Planck 프레임워크 내에서 어떻게 기록할 수 있는가?
• RQ3 표본에 의한 렌즈 효과가 빔렛의 확률 밀도 함수의 이동 및 확산 성분에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 원천 크기, 다색성 및 검출기 해상도가 측정된 위상 및 어두운 영역 신호에 어떤 정도의 영향을 미치며, 이를 어떻게 모델링할 수 있는가?
• RQ5 Fokker–Planck 모델을 단일 격자 및 간섭계 영상 설정 양쪽에 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• Fokker–Planck 방정식은 격자 기반 X선 영상에서 빔렛 전파의 확률 과정으로서 위상(이동) 및 어두운 영역(확산) 신호를 성공적으로 모델링한다.
• 가장자리 유도 어두운 영역 강화는 경계 회절파 기여로 기인하며, 이는 기존 산산패부 모델이 포착하지 못하는 局소적 확산 항을 추가한다.
• 표본에 의한 렌즈 효과는 위치에 따라 달라지는 이동 및 확산을 유도하며, 이는 Fokker–Planck 방정식 내에서 공간적으로 변화하는 계수로 모델링할 수 있다.
• 모델은 실용적 영상 제약 조건을 고려한다: 검출기 픽셀 크기는 컨볼루션에 의해 가시도를 감소시키며, 확장된 원천은 추가적인 확산 항으로 모델링된 블러링을 유도하고, 다색 조명은 스펙트럼 통합을 통해 처리된다.
• 이 프레임워크는 단일 격자, 스펄터 트래킹, 간섭계 영상 방식을 하나의 확률 모델 아래 통합하는 일관된 수학적 기술을 제공한다.
• 이 방법은 측정된 강도 프로파일에서 위상 및 어두운 영역 정보를 동시에 복원할 수 있도록 하여 다중 대비 X선 영상에서의 역문제 해결을 위한 기초를 마련한다.