[논문 리뷰] Approach to thermal equilibrium in harmonic crystals with polyatomic lattice

Vitaly A. Kuzkin|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 01.

Thermal properties of materials참고 문헌 55인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 다원자 격자를 갖는 무한한 조화 결정에서 열 평형에 도달하는 방식을 조사하며, 격자 세포 내 다양한 자유도에 대한 시간에 따라 변화하는 운동온도에 초점을 맞춘다. 격자역학 방정식의 정확한 해를 이용하여, 운동에너지와 위치에너지 간의 에너지 재분배 및 자유도 간 재분배에 의해 유도되는 온도 진동에 대한 해석적 공식을 유도하며, 최종 평형 온도가 초기 조건에 따라 달라지는 비등분할 정리(non-equipartition theorem)를 도출한다.

ABSTRACT

We study transient thermal processes in infinite harmonic crystals with complex (polyatomic) lattice. Initially particles have zero displacements and random velocities such that distribution of temperature is spatially uniform. Initial kinetic and potential energies are different and therefore the system is far from thermal equilibrium. Time evolution of kinetic temperatures, corresponding to different degrees of freedom of the unit cell, is investigated. It is shown that the temperatures oscillate in time and tend to generally different equilibrium values. The oscillations are caused by two physical processes: equilibration of kinetic and potential energies and redistribution of temperature among degrees of freedom of the unit cell. An exact formula describing these oscillations is obtained. At large times, a crystal approaches thermal equilibrium, i.e. a state in which the temperatures are constant in time. A relation between equilibrium values of the temperatures and initial conditions is derived. This relation is refereed to as the non-equipartition theorem. For illustration, transient thermal processes in a diatomic chain and graphene lattice are considered. Analytical results are supported by numerical solution of lattice dynamics equations. ${\bf Keywords}$: thermal equilibrium; stationary state; approach to equilibrium; polyatomic lattice; complex lattice; kinetic temperature; harmonic crystal; transient processes; equipartition theorem; temperature matrix.

연구 동기 및 목표

• 복잡한(다원자) 격자를 갖는 무한한 조화 결정에서의 일시적 열 과정을 이해하기 위해.
• 격자 세포 내 다양한 자유도와 관련된 운동온도의 시간에 따른 변화를 분석하기 위해.
• 최종 평형 온도와 초기 조건 사이의 이론적 관계를 유도하여 비등분할 정리를 도출하기 위해.
• 비평형 상태에서의 열 평형에 도달하는 과정에 대한 분석적 및 수치적 검증을 제공하기 위해.
• 등분할 원리의 범위를 초월하여 운동에너지-위치에너지 및 자유도 간 에너지 재분배 과정을 이해하기 위해.

제안 방법

• 근처 원자 간 상호작용과 조화 자기 위치 에너지를 갖는 다원자 격자를 기술하기 위해 행렬 형태로 격자 세포의 운동 방정식을 수립한다.
• 격자역학 방정식의 정확한 해를 활용하여 각 자유도에 대한 운동온도의 시간 변화를 계산한다.
• 운동에너지와 위치에너지 간의 에너지 평형 및 자유도 간의 온도 재분배에 기인한 운동온도의 진동 행동을 기술하는 정확한 해석적 표현을 유도한다.
• 온도 행렬의 시간 변화를 기술하기 위해 공분산 기반 형식을 사용하여 평형 상태의 값을 도출한다.
• 해밀토니안 행렬의 트레이스와 비편측성( deviations )을 보존하는 일반화된 해밀토니안 형식을 적용하여 에너지 분포에 대한 제약 조건을 유도한다.
• 이중 원자 체인과 그래핀 격자에 대한 격자역학 방정식의 수치적 해를 통해 검증하였으며, 분석적 예측을 확인하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조화 결정 내 다원자 격자 세포의 다양한 자유도에 대응하는 운동온도는 시간이 지남에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ2 열 평형에 도달하는 과정에서 운동온도의 진동 행동을 이끄는 물리적 메커니즘은 무엇인가?
• RQ3 초기 운동에너지와 위치에너지가 상이할 경우, 운동온도의 최종 평형 값은 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ4 시스템의 초기 상태는 자유도 간의 온도 분포의 장기적 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 복잡한 격자를 갖는 조화 결정에서 평형 온도와 초기 조건 간의 관계를 기반으로 비등분할 정리를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 격자 세포 내 다양한 자유도에 대응하는 운동온도는 시간이 지남에 따라 감쇠 진동을 보이며, 최종적으로 서로 다른 평형 값에 도달한다.
• 진동은 두 가지 경쟁적 과정에 기인한다: 운동에너지와 위치에너지 간의 에너지 평형화 및 자유도 간의 온도 재분배.
• 시간에 따라 변화하는 온도 행렬을 기술하는 정확한 해석적 공식이 도출되었으며, 이는 진동 및 완화 동역학을 모두 포괄한다.
• 비등분할 정리가 확립되었으며, 이는 평형 온도가 초기 조건에 의존하며 일반적으로 자유도 간에 서로 다를 수 있음을 보여준다.
• 이중 원자 체인과 그래핀에 대해 격자역학 방정식의 수치적 해가 분석 예측을 확인하였으며, 온도 진동의 진폭과 주파수도 일치한다.
• 최종 평형 상태는 공간적·시간적으로 균일한 온도로 특징지어지며, 초기에 비균일한 에너지 분포가 있었음에도 불구하고 열 평형과 일치한다.