[논문 리뷰] Approaches for enumerating permutations with a prescribed number of occurrences of patterns

Brian Nakamura|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 22.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 18인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 기능적 방정식 기반의 수세기 기법을 확장하여 특정 비증가 패턴, 즉 132, 1432, 2341 및 다중 패턴과 역전치수를 고정한 경우의 순열을 세는 데 응용한다. 카탈리틱 생성함수를 통한 다항식 시간 알고리즘을 도입하고, 계산을 위한 Maple 패키지도 제공함으로써 이전에는 해결이 어려웠던 순열 클래스의 정확한 패턴 수를 세는 데 기여한다.

ABSTRACT

In recent work, Zeilberger and the author used a functional equations approach for enumerating permutations with r occurrences of the pattern 12...k. In particular, the approach yielded a polynomial-time enumeration algorithm for any fixed nonnegative r. We extend that approach to patterns of the form 12...(k-2)(k)(k-1) by deriving analogous functional equations and using them to develop similar algorithms that enumerate permutations with r occurrences of the pattern. We also generalize those techniques to handle patterns of the form 23...k1 and derive analogous functional equations and enumeration algorithms. Finally, we show how the functional equations and algorithms can be modified to track inversions as well as handle multiple patterns simultaneously. This paper is accompanied by Maple packages that implement the algorithms described.

연구 동기 및 목표

• 증가 패턴(12...k)에 대한 기능적 방정식 접근법을 132, 1432 등의 비증가 패턴으로 일반화한다.
• 고정된 r개의 특정 패턴을 정확히 포함하는 순열을 세는 데 효과적인 다항식 시간 알고리즘을 개발한다. 특히 r > 1인 경우에도 적용 가능하도록 한다.
• 순열 내에서 다중 패턴과 역전치수를 동시에 추적할 수 있도록 방법을 확장한다.
• 실제 계산과 수열 생성을 위해 알고리즘을 Maple 패키지로 구현한다.

제안 방법

• 순열 내 패턴 발생 수와 역전치수를 추적하기 위해 카탈리틱 변수를 사용하여 기능적 방정식을 유도한다.
• 좌우 역전치 기여를 코딩하기 위해 변수 x_i와 y_i를 사용하는 가중 생성함수를 도입한다.
• 삽입 규칙을 수정하여 [14]의 재귀 구조를 12...(k-2)k(k-1) 및 23...k1와 같은 패턴을 다룰 수 있도록 adapt한다.
• 기능적 방정식을 활용해 고정된 r과 패턴 τ에 대해 s_n(τ,r)를 효율적으로 계산하는 재귀 알고리즘을 구축한다.
• 자동화된 수열 생성을 위해 알고리즘을 Maple 패키지(F123n132, F2341, FS3 등)로 구현한다.
• 다중 기능적 방정식을 조합하여 모든 길이 3 패턴을 동시에 추적하고 다변수 생성함수를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 증가 패턴에 사용된 기능적 방정식 접근법을 132, 1432와 같은 비단조화 패턴으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 r ≥ 2인 경우에도 정확히 r개의 패턴 τ를 포함하는 순열을 세는 데 다항식 시간 알고리즘을 개발할 수 있는가?
• RQ3 이 방법을 순열 내에서 다중 패턴과 역전치수를 동시에 추적할 수 있도록 일반화할 수 있는가?
• RQ4 123 및 132와 같은 고정된 발생 수를 가진 순열의 생성함수를 지배하는 기능적 방정식은 무엇인가?
• RQ5 결과로 도출된 알고리즘이 패턴 발생 수열에 대해 P-재귀적 또는 닫힌 형태 표현식을 추측할 수 있을 정도의 항을 생성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 12...(k-2)k(k-1) 및 23...k1 형식의 패턴, 특히 이전에는 접근이 어려웠던 1432까지도 포함하여 기능적 방정식 방법을 성공적으로 확장하였다.
• 고정된 r ≥ 0 및 새로운 패턴 군집에 대해 s_n(τ,r)를 계산하는 다항식 시간 알고리즘을 개발하였다.
• Maple 패키지 F123n132는 123과 132 각각 정확히 r개와 s개를 포함하는 순열의 수열을 생성하며, n=15까지의 항을 예시로 제시한다.
• 패키지 FS3는 길이 3 패턴 6종을 모두 추적하여 n=11까지의 다변수 생성함수를 계산하며, 전개된 항들이 담긴 450MB 파일을 생성한다.
• 경험적 증거는 123이 r개, 132가 s개 발생하는 순열의 수가 n ≥ r+s+1일 때 p(n)2^n 형태이며, p(n)은 차수 r+s의 다항식일 것이라는 추측을 지지한다.
• 이 방법은 새로운 추측을 이끌어내는 수열 계산을 가능하게 하며, 예를 들어 작은 r,s에 대해 c_r,s(n)의 P-재귀적 성질을 규명하고 더 깊은 구조적 성질 탐색을 위한 도구를 제공한다.