[논문 리뷰] Approximability of all finite CSPs in the dynamic streaming setting

Chi-Ning Chou, Alexander Golovnev외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 03.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 동적 스트리밍 모델에서 모든 유한 제약 만족 문제(CSPs)의 근사 가능성에 대해 이분법을 설정한다. 임의의 제약 가족 F와 근사 매개변수 γ > β에 대해 문제는 다항로그 공간으로 해결 가능하거나 ω(√n) 공간을 요구한다. 이 작업은 이전의 불리안 CSPs에 대한 결과를 일반적인 유한 도메인과 제약 가족으로 확장하며, 고급 노름 추정과 새로운 통신 복잡도 감소 기법을 사용한다.

ABSTRACT

A constraint satisfaction problem (CSP), Max-CSP$({\cal F})$, is specified by a finite set of constraints ${\cal F} \subseteq \{[q]^k o \{0,1\}\}$ for positive integers $q$ and $k$. An instance of the problem on $n$ variables is given by $m$ applications of constraints from ${\cal F}$ to subsequences of the $n$ variables, and the goal is to find an assignment to the variables that satisfies the maximum number of constraints. In the $(\gamma,\beta)$-approximation version of the problem for parameters $0 \leq \beta < \gamma \leq 1$, the goal is to distinguish instances where at least $\gamma$ fraction of the constraints can be satisfied from instances where at most $\beta$ fraction of the constraints can be satisfied. In this work we consider the approximability of this problem in the context of streaming algorithms and give a dichotomy result in the dynamic setting, where constraints can be inserted or deleted. Specifically, for every family ${\cal F}$ and every $\beta < \gamma$, we show that either the approximation problem is solvable with polylogarithmic space in the dynamic setting, or not solvable with $o(\sqrt{n})$ space. We also establish tight inapproximability results for a broad subclass in the streaming insertion-only setting. Our work builds on, and significantly extends previous work by the authors who consider the special case of Boolean variables ($q=2$), singleton families ($|{\cal F}| = 1$) and where constraints may be placed on variables or their negations. Our framework extends non-trivially the previous work allowing us to appeal to richer norm estimation algorithms to get our algorithmic results. For our negative results we introduce new variants of the communication problems studied in the previous work, build new reductions for these problems, and extend the technical parts of previous works.

연구 동기 및 목표

• 동적 스트리밍 모델에서 모든 유한 제약 만족 문제(CSPs)의 근사 가능성에 대한 공간 복잡도를 규명하는 것.
• 단일 제약 가족을 가진 불리안 CSPs에 대한 이전 작업을 일반적인 유한 도메인과 임의의 제약 가족으로 확장하는 것.
• 근사 가능성에 대한 완전한 분류를 다항로그 공간으로 해결 가능하거나 Ω(√n) 공간으로는 불가능한 것으로 설정하는 것.
• 삽입 전용 스트리밍 모델에서 광범위한 부분집합에 대해 날카로운 근사 불가능성 결과를 제공하는 것.

제안 방법

• 일부 CSP 가족에 대해 다항로그 공간 근사를 달성하기 위해 풍부한 노름 추정 알고리즘 기반의 프레임워크를 개발한다.
• 스트리밍 환경에서의 근사 난이도를 모델링하기 위해 통신 문제의 새로운 변형을 도입한다.
• 이러한 통신 문제에서 CSP 근사로의 새로운 감소를 구성하여 이전 감소를 일반 CSPs로 확장한다.
• 근사 불가능한 경우에 대해 강력한 공간 하한을 증명하기 위해 통신 복잡도 기법을 고도로 활용한다.
• 제약 가족의 구조적 성질을 활용하여 공간 복잡도 기반으로 해결 가능 또는 불가능한 카테고리로 분류한다.
• 이전의 불리안 변수와 단일 가족에 대한 결과를 임의의 유한 도메인과 일반 제약 집합으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 유한 제약 가족 F와 매개변수 γ > β에 대해, 동적 스트리밍 모델에서 Max-CSP(F)의 (γ, β)-근사는 다항로그 공간으로 해결 가능한가?
• RQ2 동적 환경에서 CSP 근사에 대해 다항로그 공간 해결 가능성과 ω(√n) 공간 불가능성 사이의 경계는 무엇으로 특징지어지는가?
• RQ3 삽입 전용 스트리밍 모델에서 광범위한 부분집합에 대해 날카로운 근사 불가능성 결과를 확립할 수 있는가?
• RQ4 노름 추정 기법은 불리안 케이스를 초월해 일반 CSPs에 대한 알고리즘 결과를 지원하기 위해 어떻게 확장되는가?
• RQ5 일반 CSPs에 대해 강력한 하한을 증명하기 위해 필요한 새로운 통신 복잡도 문제와 감소는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 제약 가족 F와 매개변수 β < γ에 대해, 동적 스트리밍 모델에서 Max-CSP(F)의 (γ, β)-근사는 다항로그 공간으로 해결 가능하거나 ω(√n) 공간을 요구한다.
• 논문은 완전한 이분법을 설정한다: 이 문제군에 대해 다항로그 공간과 ω(√n) 사이의 중간 공간 복잡도는 존재하지 않는다.
• 삽입 전용 스트리밍 모델에서 광범위한 부분집합에 대해 날카로운 근사 불가능성 결과가 증명된다.
• 프레임워크는 이전의 불리안 CSPs와 단일 가족에 대한 작업을 임의의 유한 도메인과 일반 제약 집합으로 일반화한다.
• 새로운 통신 문제 변형과 감소가 도입되어 이전의 기술적 한계를 초월하는 더 강력한 하한을 가능하게 한다.
• 결과는 노름 추정 기법이 일반 CSPs에 대해 스트리밍 환경에서 알고리즘적 해법을 지원하기 위해 비트리비얼하게 확장될 수 있음을 보여준다.