[논문 리뷰] Approximate Birkhoff-James orthogonality in the space of bounded linear operators

Kallol Paul, ‎Debmalya Sain외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 28.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 11인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 노름공간과 힐버트 공간 위의 유계선형 연산자에 대한 두 가지 근사 Birkhoff-James 수직성 개념—⊥ǫ_D 및 ⊥ǫ_B—에 대한 완전한 특성화를 제공한다. 노름을 도달하는 집합 MT를 사용하여 필요하고도 충분한 조건을 설정함으로써, 이전 결과를 무한차원 힐버트 공간과 일반 노름공간으로 확장한다. 주요 결과로는, MT가 대칭적이거나 연결되어 있지 않더라도, T⊥ǫ_B A가 성립하는 것은 A와 관련된 특정 이차부등식을 만족하는 MT 내의 벡터가 존재할 때에만 성립함을 보여준다.

ABSTRACT

There are two notions of approximate Birkhoff-James orthogonality in a normed space. We characterize both the notions of approximate Birkhoff-James orthogonality in the space of bounded linear operators defined on a normed space. A complete characterization of approximate Birkhoff-James orthogonality in the space of bounded linear operators defined on Hilbert space of any dimension is obtained which improves on the recent result by Chmieli\'nski et al. [ J. Chmieli\'nski, T. Stypula and P. W\'ojcik, extit{Approximate orthogonality in normed spaces and its applications}, Linear Algebra and its Applications, extbf{531} (2017), 305--317.], in which they characterized approximate Birkhoff-James orthogonality of linear operators on finite dimensional Hilbert space and also of compact operators on any Hilbert space.

연구 동기 및 목표

• 노름공간 위의 유계선형 연산자에 대한 두 가지 다른 근사 Birkhoff-James 수직성 개념—⊥ǫ_D 및 ⊥ǫ_B—을 특성화하는 것.
• 이전의 유한차원 및 컴팩트 연산자에 대한 결과를 임의의 차원의 일반 힐버트 공간과 반사적 바나흐 공간으로 확장하는 것.
• 특히 힐버트 공간 위의 연산자에 대해, 노름을 도달하는 집합 MT를 이용한 근사 수직성의 필요하고도 충분한 조건을 설정하는 것.
• 노름을 도달하는 집합이 대칭적이거나 연결되어 있지 않은 경우(예: D ∪ (−D))를 포함하는 통합 프레임워크를 제공하는 것.
• 이전 연구의 한계를 해결하기 위해, 컴팩트가 아니며 유한차원이 아닌 연산자에 대해서도 수직성을 특성화하는 것, 특히 이전의 보조정리 조건을 만족하지 못하는 경우도 포함한다.

제안 방법

• 노름을 도달하는 집합 MT = {x ∈ SX : ∥Tx∥ = ∥T∥}를 중심 도구로 사용하여 수직 관계를 특성화한다.
• 근사 수직성의 두 정의를 적용한다: ⊥ǫ_D (∥x + λy∥ ≥ √(1−ǫ²)∥x∥ 기반) 및 ⊥ǫ_B (∥x + λy∥² ≥ ∥x∥² − 2ǫ∥x∥∥λy∥ 기반).
• λ ≥ 0 및 λ ≤ 0에 대한 x+와 x− 개념과 그 ǫ-변형인 x+(ǫ) 및 x−(ǫ)을 도입하여 연산자의 방향적 행동을 정의한다.
• 반사적 바나흐 공간 위의 컴팩트 연산자에 대해, T⊥ǫ_D A가 성립하는 것은 특정 범위의 λ에 대해 ∥T + λA∥ ≥ √(1−ǫ²)∥T∥를 만족하는 노름을 도달하는 벡터가 존재할 때에만 성립함을 증명한다.
• ⊥ǫ_B의 경우, 이차부등식을 사용한 조건을 유도한다: λ ≥ 0 및 λ ≤ 0에 대해 ∥Tx + λAx∥² ≥ ∥T∥² − 2ǫ∥T∥∥λA∥.
• MT가 공백이거나 컴팩트가 아닐 수 있는 일반 노름공간의 경우, ∥Txn∥ → ∥T∥를 만족하는 수열 {xn}, {yn}을 이용한 순차적 근사 기법을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계선형 연산자 T가 ⊥ǫ_D 정의에 따라 A와 근사 Birkhoff-James 수직성을 만족하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 노름을 도달하는 집합 MT가 대칭적이거나 연결되어 있지 않은 경우, ⊥ǫ_B 수직성은 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 근사 수직성의 특성화는 유한차원 및 컴팩트 연산자 외에도 일반 힐버트 공간으로 확장될 수 있는가?
• RQ4 노름을 도달하는 집합 MT는 비컴팩트 연산자에 대한 근사 수직성 결정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 일반 노름공간에서 두 가지 다른 근사 수직성 정의(⊥ǫ_D 및 ⊥ǫ_B)는 어떻게 관련되어 있으며, 언제 일치하는가?

주요 결과

• X가 반사적일 때, T, A ∈ K(X, Y)이면 T⊥ǫ_D A일 필요충분조건은 다음 중 하나가 성립할 때이다: (a) Ax ∈ (Tx)+이고 ∥Txλ + λAxλ∥ ≥ √(1−ǫ²)∥T∥를 만족하는 특정 구간의 λ에 대해 x ∈ MT 가 존재하거나, (b) y ∈ MT 에 대해 Ay ∈ (Ty)− 인 경우와 유사한 조건이 성립한다.
• 논문은 [7]의 정리 2.2에 대한 다른 증명을 제공하며, 유한차원 공간에서 T⊥B A일 필요충분조건이 Ax ∈ (Tx)+ 및 Ay ∈ (Ty)− 를 만족하는 x, y ∈ MT 가 존재함을 보여준다.
• Hilbert 공간 H 위의 컴팩트 연산자 T ∈ K(H)에 대해, T⊥ǫ_B A가 성립하는 것은 MT 내에 존재하는 x ∈ MT 가 Tx⊥ǫ_B Ax 를 만족할 때에만 성립한다. 이는 MT가 MA에 포함되어 있지 않더라도 성립한다.
• 일반적인 경우, 임의의 노름공간 위에서 T, A ∈ B(X, Y)일 때, T⊥ǫ_B A가 성립하는 것은 다음 중 하나가 성립할 때이다: (a) ∥Txn∥ → ∥T∥를 만족하는 수열 {xn}이 존재하고 lim ∥Axn∥ ≤ ǫ∥A∥ 이거나, (b) 특정 이차부등식을 만족하는 두 수열 {xn}, {yn} 이 존재한다. 여기서 ǫn, δn → 0.
• 정리 3.4의 특성화는 이전 결과로 다루지 못한 연산자도 포함한다. 예를 들어 MT가 대칭적이지 않거나 MA에 포함되어 있지 않은 경우에도 적용 가능함을 보여주며, 더 넓은 적용 가능성을 입증한다.
• 논문은 정리 3.1이 정리 3.1.1 및 3.1.2보다 더 넓은 연산자 집합을 포함함을 보여주며, ℓ²에서 비대칭인 MT를 가진 반례를 제시한다.