[논문 리뷰] Approximate controllability for a 2D Grushin equation with potential having an internal singularity

Morgan Morancey|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 24.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 20인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 $x=0$에서 내부 역제곱 특이성과 비가역성을 가진 2차원 그루신 방정식에 대해, 특이 연산자의 전달 조건을 통한 자기수반 확장을 구성하고, 푸리에 분해 및 카르레만 추정을 통해 유일 연속성을 증명함으로써 근사 제어 가능성을 확립한다. 주요 결과는 모든 $c \in (-\frac{1}{4}, \frac{3}{4})$ 에서 근사 제어 가능성이 성립한다는 것이며, 이는 특이 그루신 설정에서 하디 부등식의 유효 범위와 본질적으로 자기수반성 사이의 간극을 메운다.

ABSTRACT

This paper is dedicated to approximate controllability for Grushin equation on the rectangle $(x,y) \\in (-1,1) \ imes (0,1)$ with an inverse square potential. This model corresponds to the heat equation for the Laplace-Beltrami operator associated to the Grushin metric on $\\mathbb{R}^2$, studied by Boscain and Laurent. The operator is both degenerate and singular on the line $\\{ x=0 \\}$. The approximate controllability is studied through unique continuation of the adjoint system. For the range of singularity under study, approximate controllability is proved to hold whatever the degeneracy is. Due to the internal inverse square singularity, a key point in this work is the study of well-posedness. An extension of the singular operator is designed imposing suitable transmission conditions through the singularity. Then, unique continuation relies on the Fourier decomposition of the 2D solution in one variable and Carleman estimates for the 1D heat equation solved by the Fourier components. The Carleman estimate uses a suitable Hardy inequality.

연구 동기 및 목표

• 내부 역제곱 특이성과 $\{x=0\}$에서의 비가역성을 가진 2차원 그루신 방정식에 대한 근사 제어 가능성을 확립하기 위해.
• 특이 연산자의 전달 조건을 통한 적절한 자기수반 확장을 구성함으로써 방정식의 잘 정의됨을 해결하기 위해.
• 푸리에 분해와 1차원 카르레만 추정을 사용하여 수반 시스템의 유일 연속성을 증명하기 위해.
• 근사 제어 가능성이 모든 $c \in (-\frac{1}{4}, \frac{3}{4})$ 에서 성립함을 보여주기 위해, 특히 임계 하디 경우 $c = -\frac{1}{4}$를 제외하고서도 성립함을 밝히기 위해.

제안 방법

• 문제는 $y$ 변수에 대한 푸리에 분해를 통해 1차원 수반 시스템으로 축소되며, 경계에 역제곱 특이성을 가진 방정식이 유도된다.
• 특이 연산자의 자기수반 확장을 $x=0$에서 특정 전달 조건을 도입하여 구성함으로써 연속적인 반군을 생성함을 보장한다.
• 특이 잠재력이 있는 1차원 열 방정식에 대한 카르레만 추정이 유도되며, 특이 항 $\frac{z^2}{x^2}$ 를 제어하기 위해 하디 유형 부등식에 의존한다.
• 카르레만 추정의 가중치 함수는 볼록하고 증가하는 형태로 선택되어 특이 도함수와 경계 항을 지배하도록 하며, 조건 $z_x(t,0) = 0$ 을 활용한다.
• 카르레만 추정의 증명은 부분 적분과 에너지 추정을 사용하며, 주요 항은 코ercivity를 보장하기 위해 $R^3$ 이다.
• 1차원 시스템의 유일 연속성은 쌍대성에 의해 2차원 시스템의 근사 제어 가능성을 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 내부 역제곱 특이성과 $x=0$에서의 비가역성을 가진 2차원 그루신 방정식에 대해 근사 제어 가능성이 성립하는가?
• RQ2 특이 연산자가 잘 정의되고 제어 가능해지도록 하기 위해 어떻게 확장되어야 하는가?
• RQ3 잠재력이 특이하고 연산자가 비가역적인 경우, 수반 시스템에 대해 유일 연속성을 확립할 수 있는가?
• RQ4 근사 제어 가능성이 유지되는 특이 계수 $c$ 의 범위는 무엇이며, 하디 부등식과 자기수반 확장과의 관계는 어떠한가?
• RQ5 특이 잠재력과 비가역성을 동시에 다룰 수 있는 카르레만 추정을 구성할 수 있는가, 특히 특이 항이 부분 적분으로 통합될 수 없는 경우에도 말이다?

주요 결과

• 모든 $c \in (-\frac{1}{4}, \frac{3}{4})$ 에서 근사 제어 가능성이 성립함을 증명하여, 연산자가 본질적으로 자기수반적이지 않은 경우에도 성립함을 보였다.
• 특이 그루신 연산자의 자기수반 확장을 $x=0$에서의 전달 조건을 통해 정의함으로써 방정식의 잘 정의됨이 확립되었다.
• 푸리에 분해와 특이 잠재력이 있는 1차원 문제에 대한 새로운 카르레만 추정을 사용하여 수반 시스템의 유일 연속성 특성이 증명되었다.
• 특히 볼록하고 증가하는 형태로 철저히 선택된 가중치 함수를 사용하여 특이 도함수와 경계 항을 제어할 수 있었다.
• 이 추정은 하디 부등식에 의존하며, 추가 조건 $z_x(t,0) = 0$ 덕분에 성립한다. 이 조건은 특이 항 $\frac{z^2}{x^4}$ 를 다루는 데 핵심적이다.
• 이 결과는 하디 부등식이 성립하는 범위($c \geq -\frac{1}{4}$)와 연산자가 본질적으로 자기수반이 되는 범위($c \geq \frac{3}{4}$) 사이의 간극을 메우며, 중간 범위에서도 제어 가능성이 유지됨을 보였다.