[논문 리뷰] Approximate controllability for fractional diffusion equations by Dirichlet boundary control

Kenichi Fujishiro|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 01.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 12인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 $0 < \alpha < 1$ 인 Caputo 시간 도함수를 갖는 시간 분수형 열 방정식에 대해 Dirichlet 경계 제어를 이용한 근사 제어 가능성을 확립한다. 고유함수 전개를 활용하고 쌍대 시스템에 대한 유일한 연장 성질을 증명하여, 저자들은 초기 상태가 $L^2(\Omega)$ 내에서 주어진 최종 상태로 임의로 가까이 갈 수 있음을 보여준다. 주요 기여는 제어와 도메인에 대한 최소한의 정규성 가정 하에 근사 제어 가능성을 입증한 데 있다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the approximate controllability of partial differential equations with time derivatives of non-integer order via boundary control. We first show the unique existence of the solution under smooth boundary conditions using the eigenfunction expansion. Next we also study the dual system and apply their results to prove (i) the regularity of the solution with non-smooth boundary conditions and (ii) approximate controllability.

연구 동기 및 목표

• Caputo 시간 도함수를 갖는 분수형 열 방정식에 대해 $0 < \alpha < 1$ 인 경우 경계 제어를 이용한 근사 제어 가능성을 확립한다.
• 고유함수 전개를 통해 $L^2(\Omega)$ 내에서 해의 잘 정의됨과 정규성에 대해 분석한다.
• 쌍대 시스템을 연구하고 제어 가능성에 필수적인 유일한 연장 성질을 증명한다.
• 경계 제어가 부분 경계 $\Gamma_0 \subset \Gamma$ 에 국한되어 있을 때, $L^2(\Omega)$ 내에서 어떤 목표 상태로도 임의로 가까이 갈 수 있음을 보여준다.

제안 방법

• 타원형 연산자 $L$ 의 고유값과 고유함수를 이용하여 분수형 열 방정식의 해를 고유함수 전개로 표현한다.
• 비구조적 경계 자료에 대해 전치를 통한 약한 해를 정의함으로써, 해 프레임워크를 $g \in H^{-1/2}(\Gamma)$ 로 확장한다.
• 보간 이론을 적용하여 해 연산자 $\Lambda$ 가 $L^2(\Gamma)$ 에서 $H^{1/2}(\Omega)$ 로, 그리고 $H^{3/2}(\Gamma)$ 에서 $\mathcal{D}(L^\theta)$ 로 $\theta < 1/4$ 를 만족시키도록 매핑함을 보여준다.
• 도메인 $\Omega$ 내에서 $\mathscr{L}v = f$, 경계 $\Gamma$ 에서 $v = 0$ 인 쌍대 시스템을 분석하고, 해에 대한 유일한 연장 성질을 증명한다.
• 쌍대 시스템의 유일한 연장 성질을 이용해 관측 가능성(observability)을 유추하고, 이는 이중성(duality)을 통해 근사 제어 가능성을 암시한다.
• Riesz 표현 정리를 적용하여 약한 해를 정의하고 해 연산자 $\Lambda$ 의 유계성 추정을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $0 < \alpha < 1$ 인 시간 분수형 열 방정식의 해가 Dirichlet 경계 제어를 통해 $L^2(\Omega)$ 내에서 어떤 목표 상태로도 임의로 가까이 갈 수 있는가?
• RQ2 경계 제어 $g$ 가 $L^2(\Gamma)$ 또는 $H^{-1/2}(\Gamma)$ 에 속할 경우, 해와 해 연산자 $\Lambda$ 의 정규성은 어떠한가?
• RQ3 분수형 열 방정식의 쌍대 시스템은 유일한 연장 성질을 만족하는가? 이는 제어 가능성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 고유함수 전개 방법은 분수형 PDE에 대한 근사 제어 가능성 분석을 어떻게 지원하는가?
• RQ5 근사 제어 가능성을 $L^2(\Omega)$-노름에서 확보하기 위해 필요한 경계 제어 $g$ 의 최소 정규성 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 초기 자료 $u_0 \in L^2(\Omega)$ 와 제어 $g \in L^2(\Gamma)$ 를 갖는 분수형 열 방정식의 해는 유일하게 존재하며, $L^2(\Omega)$ 에 속한다.
• 경계 제어 $g$ 를 시간 $T$ 에서 상태로 매핑하는 해 연산자 $\Lambda$ 는 $L^2(\Gamma)$ 에서 $H^{1/2}(\Omega)$ 로, 그리고 $H^{3/2}(\Gamma)$ 에서 $\mathcal{D}(L^\theta)$ 로 $\theta < 1/4$ 를 만족시키도록 유계이다.
• 쌍대 시스템은 유일한 연장 성질을 만족한다: 만약 해가 부분 도메인에서 0이면 전체적으로 0이 되며, 이는 관측 가능성 증명에 핵심적이다.
• 근사 제어 가능성이 성립한다: 임의의 $u_1 \in L^2(\Omega)$ 와 $\varepsilon > 0$ 에 대해, $\|u(\cdot,T) - u_1\|_{L^2(\Omega)} \leq \varepsilon$ 를 만족하는 경계 제어 $g \in L^2(\Gamma_0 \times (0,T))$ 가 존재한다.
• 증명은 제어 가능성과 관측 가능성 간의 이중성에 기반하며, 쌍대 시스템의 유일한 연장 성질이 관측 가능성 부등식을 보장한다.
• 최소한의 정규성 가정 하에서도 결과가 성립한다: 도메인 $\Omega$ 는 $C^2$, 계수 $a_{ij} \in C^1(\overline{\Omega})$, $c \in C(\overline{\Omega})$ 이고 $c \geq 0$ 이다.