[논문 리뷰] Approximate controllability for linear degenerate parabolic problems with bilinear control

Piermarco Cannarsa, Giuseppe Floridia|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 21.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 22인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 시간에 의존하지 않는 계수를 가진 이변형 제어를 갖는 선형 탈진성 포물형 편미분방정식에 대해 전역적인 근사 곱셈 제어 가능성을 확립한다. 목표 상태에 기반한 정적 제어를 구성하고 탈진성 연산자의 스펙트럼 성질을 활용함으로써, 저자들은 $ L^2(-1,1) $ 내에서 유한 시간 이내에 어떤 음이 아닌 초기 상태도 음이 아닌 목표 상태로 임의로 가까이 이끌 수 있음을 증명한다. 이는 적분 조건을 만족할 경우 경계에서 확산 계수의 영이 되는 상황에서도 성립한다.

ABSTRACT

In this work we study the global approximate multiplicative controllability for the linear degenerate parabolic Cauchy-Neumann problem $$ \{{array}{l} \displaystyle{v_t-(a(x) v_x)_x =α(t,x)v\,\,\qquad {in} \qquad Q_T \,=\,(0,T) imes(-1,1)} [2.5ex] \displaystyle{a(x)v_x(t,x)|_{x=\pm 1} = 0\,\,\qquad\qquad\qquad\,\, t\in (0,T)} [2.5ex] \displaystyle{v(0,x)=v_0 (x) \,\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\,\, x\in (-1,1)}, {array}. $$ with the bilinear control $α(t,x)\in L^\infty (Q_T).$ The problem is strongly degenerate in the sense that $a\in C^1([-1,1]),$ positive on $(-1,1),$ is allowed to vanish at $\pm 1$ provided that a certain integrability condition is fulfilled. We will show that the above system can be steered in $L^2(Ω)$ from any nonzero, nonnegative initial state into any neighborhood of any desirable nonnegative target-state by bilinear static controls. Moreover, we extend the above result relaxing the sign constraint on $v_0$.

연구 동기 및 목표

• 기후 모델링의 맥락에서 선형 탈진성 포물형 미분방정식의 근사 제어 가능성을 조사한다.
• Budyko-Sellers 모델에서와 같이 확산 계수가 경계에서 사라지는 시스템으로 제어 가능성 결과를 확장한다.
• 강한 탈진성 조건 하에서도 정적 이변형 제어를 사용하여 전역 음이 아닌 근사 제어 가능성을 확립한다.
• 초기 상태의 부호 제약 조건을 완화하면서도 탈진성에 대한 적분 조건을 만족할 경우 제어 가능성을 유지한다.

제안 방법

• 문제를 $ v_t - (a(x)v_x)_x = \alpha(t,x)v $ 형태의 탈진성 포물형 초기값-경계값 문제로 설정하며, 여기서 $ a(x) \in C^1([-1,1]) $, $ a(\pm1) = 0 $, 그리고 $ \int_0^x \frac{ds}{a(s)} \in L^1(-1,1) $ 를 만족한다.
• 이변형 제어 $ \alpha(t,x) \in L^\infty(Q_T) $ 를 정의하고 분석을 단순화하기 위해 정적 제어 $ \alpha(x) $ 를 고려한다.
• 목표 함수 $ v_d $ 가 관련 탈진성 연산자의 고유함수이자 고유값 0을 갖도록 하는 제어 $ \alpha_*(x) = -\frac{(a(x)v_{dx})_x}{v_d(x)} $ 를 구성한다.
• 연산자 $ -\mathcal{L} = -(a(x)\partial_x)_x + \alpha(x) $ 의 스펙트럼 분해를 사용하여 $ v_d / \|v_d\| $ 가 고유값 0을 갖는 첫 번째 고유함수임을 보인다.
• 고유값의 부정적 성질을 활용해 고차원 모드의 지수 감쇠를 적용하고, $ \alpha(x) = \alpha_*(x) + \beta $ 의 형태에서 상수 보정 $ \beta $ 를 조정하여 첫 번째 모드를 목표와 일치시킨다.
• Parseval의 항등식과 지수 감쇠 추정을 사용하여 유한 시간 $ T_\varepsilon $ 에서의 $ L^2 $-거리가 $ \|v(T_\varepsilon, \cdot) - v_d\| \leq \varepsilon $ 를 만족함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 의존하지 않는 계수를 갖는 선형 탈진성 포물형 편미분방정식에 대해, 임의의 영이 아닌 음이 아닌 초기 상태에서 임의의 원하는 음이 아닌 목표 상태로 $ L^2(-1,1) $ 내에서 근사적으로 이끌 수 있는가?
• RQ2 확산 계수 $ a(x) $ 의 탈진성에 대해 어떤 조건이 $ a(\pm1) = 0 $ 인 상황에서도 제어 가능성을 보장하는가?
• RQ3 초기 상태가 엄밀히 양이 아니지만 음이 아니고 영이 아닌 경우에도 근사 제어 가능성이 유지되는가?
• RQ4 정적 함수(시간에 무관한 함수)로 제어를 선택하여 전역 근사 제어 가능성을 달성할 수 있는가?
• RQ5 탈진성 연산자의 스펙트럼 구조는 제어 메커니즘에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 임의의 영이 아닌 음이 아닌 초기 상태에서 임의의 음이 아닌 목표 상태로 $ L^2(-1,1) $ 내에서 정적 이변형 제어 $ \alpha(x) \in L^\infty(-1,1) $ 를 사용하여 전역 근사 제어 가능성이 성립한다.
• 모든 $ \varepsilon > 0 $ 에 대해 유한한 시간 $ T_\varepsilon > 0 $ 이 존재하여 해가 $ \|v(T_\varepsilon, \cdot) - v_d\| \leq \varepsilon $ 를 만족하며, $ T_\varepsilon $ 는 $ e^{-\lambda_2 T_\varepsilon} = \varepsilon \frac{\int v_0 v_d dx}{\|v_0\| \|v_d\|^2} $ 를 통해 명시적으로 정의된다.
• 첫 번째 고유함수 $ \omega_1 = v_d / \|v_d\| $ 는 $ (-1,1) $ 내에서 엄밀히 양수이며, 주요 모드의 양수성을 보장한다.
• 제어 매개변수 $ \beta_\varepsilon $ 는 $ e^{\beta_\varepsilon T_\varepsilon} \int v_0 \omega_1 dx = \|v_d\| $ 를 만족하도록 선택되어 첫 번째 모드가 목표와 일치되도록 보장한다.
• 고차원 모드들은 $ -\lambda_k < 0 $ 이므로 지수 감쇠하며, 기여도는 $ e^{2(-\lambda_2 + \beta_\varepsilon)t} \|v_0\|^2 $ 로 유계화되며, 이를 임의로 작게 만들 수 있다.
• 결과는 $ v_0 $ 가 엄밀히 양이 아니어도 $ \int v_0 v_d dx > 0 $ 를 만족할 경우 성립하며, 이는 정리 1의 가정 조건 하에 보장된다.