[논문 리뷰] Approximate controllability results for fractional semilinear integro-differential inclusions in Hilbert spaces

Nazım I. Mahmudov, V. Vijayakumar외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 31.

Nonlinear Differential Equations Analysis참고 문헌 54인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간에서 분수 선형 미분 포함의 근사 제어 가능성을 보장하는 충분조건을 제시한다. 보넨블루스트-카르린의 고정점 정리에 기반하여, 비국소 조건을 포함한 시스템으로의 결과 확장을 다루며, 제어 연산자와 분야 연산자에 관련된 스펙트럼 감쇠 조건 하에서 근사 제어 가능성을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider a class of fractional integro-differential inclusions in Hilbert spaces. This paper deals with the approximate controllability for a class of fractional integro-differential control systems. First, we establishes a set of sufficient conditions for the approximate controllability for a class of fractional semilinear integro-differential inclusions in Hilbert spaces. We use Bohnenblust-Karlin's fixed point theorem to prove our main results. Further, we extend the result to study the approximate controllability concept with nonlocal conditions. An example is also given to illustrate our main results.

연구 동기 및 목표

• 힐버트 공간에서 분수 선형 미분 포함의 근사 제어 가능성을 위한 충분조건을 확립하는 것.
• 제어 가능성 분석을 비국소 초기 조건을 갖는 시스템으로 확장하는 것.
• 분수차 미분 포함으로 모델링된 복잡한 시스템의 제어를 위한 이론적 프레임워크를 제공하는 것.
• 힐버트 공간 설정에서 구체적인 예를 통해 결과의 적용 가능성을 보여주는 것.

제안 방법

• 다중값 함수에 대한 보넨블루스트-카르린의 고정점 정리를 사용하여 온화한 해의 존재성을 증명한다.
• 분야 연산자를 적용하여 분수 진화 방정식의 해 연산자(해 생성자)를 생성한다.
• 순서 $\alpha - 1$인 리만-리우빌 분수 적분을 사용하여 제어 시스템을 모델링한다. 여기서 $1 < \alpha < 2$이다.
• 해 연산자 $\mathcal{S}_\alpha(t)$, 제어 연산자 $B$, 다중값 비선형성 $F$를 포함하는 적분 방정식을 통해 온화한 해를 정의한다.
• $L^2(I,U)$ 내의 제어 함수 $u(t)$를 도입하여 시스템을 원하는 상태로 이끌도록 한다.
• 근사 제어 가능성을 달성하기 위해 피드백 제어 법칙 $v(t) = B^* \mathcal{S}^*_\alpha(b-t) R(a, \Upsilon_0^b) p(x(\cdot))$를 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 힐버트 공간 내 분수 선형 미분 포함이 어떤 조건에서 근사 제어 가능할 수 있는가?
• RQ2 비국소 초기 조건의 포함이 이러한 시스템의 제어 가능성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 보넨블루스트-카르린의 고정점 정리는 다중값 분수 시스템의 제어 가능성 증명에 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ4 분야 연산자 $A$는 해의 존재성과 정규성 보장에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 주어진 스펙트럼 조건 하에서 제어 연산자 $B$는 어떻게 설계되어야 근사 제어 가능성을 확보할 수 있는가?

주요 결과

• 시스템은 $I = [0,b]$에서 $M\gamma\left[1 + \frac{1}{\alpha}M^2M_B^2b\right] < 1$ 조건을 만족할 경우 근사 제어 가능하다. 여기서 $M_B = \|B\|$이다.
• 보넨블루스트-카르린 고정점 정리의 가정 하에 온화한 해의 존재가 보장된다.
• 비국소 조건은 고전적 초기 조건에 비해 물리적 모델링의 정밀도를 향상시킨다.
• 예시에서 $L^2([0,\pi])$ 공간 내 시스템 (8)–(10)은 정리 3.3의 모든 가정을 충족하며, 따라서 근사 제어 가능하다.
• 고정점 연산자 $\widehat{\Gamma}_a$를 구성하고 그 수축 유사 행동을 검증함으로써 증명 기법이 비국소 시스템으로 확장됨을 보였다.
• 분수 적분과 다중값 비선형성을 동시에 통합함으로써 이전의 분수 미분 포함 연구를 일반화하였다.