[논문 리뷰] Approximate Factor Models with Weaker Loadings

Jushan Bai, Serena Ng|arXiv (Cornell University)|2021. 09. 08.

Economic theories and models인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 인과 모델에서 로딩 강도가 약한 경우, 즉 로딩이 $N^{-\alpha}$로 스케일링될 때 주성분 추정기의 일致성과 점근 정규성을 확립한다. 여기서 $\alpha \in (0,1]$이다. 로딩이 약할지라도 추정이 일관되며, $\alpha$가 감소할수록 수렴 속도가 느려지지만, 이는 약한 요인 분석에 적용 가능한 통합적 프레임워크와 간소화된 증명을 제공한다.

ABSTRACT

Pervasive cross-section dependence is increasingly recognized as a characteristic of economic data and the approximate factor model provides a useful framework for analysis. Assuming a strong factor structure where $\Lop\Lo/N^α$ is positive definite in the limit when $α=1$, early work established convergence of the principal component estimates of the factors and loadings up to a rotation matrix. This paper shows that the estimates are still consistent and asymptotically normal when $α\in(0,1]$ albeit at slower rates and under additional assumptions on the sample size. The results hold whether $α$ is constant or varies across factor loadings. The framework developed for heterogeneous loadings and the simplified proofs that can be also used in strong factor analysis are of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 요인 로딩이 약할 경우, 즉 $\bm{\Lambda}^{0'\prime}\bm{\Lambda}^{0}/N^{\alpha}$ 가 $\alpha \in (0,1]$ 에서 정의된 양의 정칙한 극한을 가지는 경우 주성분 추정기의 점근적 성질을 확립하는 것.
• 강한 요인 가정($\alpha=1$)이 실패할 경우 주성분 추정기가 여전히 일관된지에 대한 모호함을 해결하는 것. 특히 Onatski(2012)가 $\alpha=0$일 때의 부일관성 결과를 고려할 때이다.
• 각 요인에서 $\alpha_r$ 가 다를 수 있는 이질적 로딩을 위한 일반적 프레임워크를 개발하고, 가장 약한 로딩이 점근적 행동을 결정함을 보여주는 것.
• 요인 공간의 회전 행렬 $\bm{H}$ 에 대한 고차원 가정과 근사치를 사용하여 강한 요인 분석에서 기존 증명을 단순화하고, 더 유연한 추론을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 논문은 요인 로딩 강도가 $\alpha \in (0,1]$ 로 인덱싱된 일반적인 점근적 프레임워크를 도입하여, 전통적인 $\alpha=1$ 경우보다 약한 로딩을 허용한다.
• 추정된 요인 $\tilde{\bm{F}}$ 와 진짜 요인 $\bm{F}^0$ 를 정렬하기 위해 회전 행렬 $\bm{H}$ 를 사용하고, 분석을 단순화하기 위해 $\bm{H}$ 의 점근적 근사치를 유도한다.
• 저랭크 성분 $\tilde{\bm{C}}$ 와 요인 공간에 대한 오차율을 유도하여 $\frac{1}{NT}\sum\|\tilde{C}_{it}-C_{it}^0\|^2 = O_p(N^{-1}) + O_p(T^{-1})$ 를 도출한다.
• 요인 추정을 위해 오차는 $\frac{1}{T}\sum\|\tilde{F}_t - \bm{H}'F_t^0\|^2 = O_p(N^{-\alpha}) + O_p((N^{1-\alpha}/T)^2)$ 로 표현되며, 이는 $\alpha > 0$ 이고 $N^{1-\alpha}/T \to 0$ 일 때 $o_p(1)$ 이다.
• 이 프레임워크는 $\alpha_1 \geq \cdots \geq \alpha_r > 0$ 를 允許하여 이질적 로딩을 처리하며, 가장 약한 로딩 $\alpha_r$ 가 점근적 행동을 결정한다.
• 이 논문은 회전 행렬 $\bm{H}$ 를 근사화하는 데 기반한 새로운 증명 기법을 사용하여, 점근 분산 표현을 단순화하고 사용자가 선호하는 분산 형태를 사용한 추론을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 요인 로딩이 약할 경우, 즉 $\alpha \in (0,1)$ 일 경우 주성분 추정기가 일관된가?
• RQ2 약한 로딩 하에서 추정된 요인과 로딩의 수렴 속도는 무엇이며, 강한 요인 사례($\alpha=1$)와 비교해보면 어떻게 되는가?
• RQ3 약한 로딩 하에서도 추정기의 점근 정규성이 유지되는가? 만약 그렇다면 $\alpha$ 에 대한 어떤 조건이 필요한가?
• RQ4 로딩의 강도가 요인 간으로 이질적일 경우 점근적 행동은 어떻게 변화하며, 어떤 로딩 강도가 한계 분포를 결정하는가?
• RQ5 기존 증명 기법은 약한 및 강한 요인 모델에 모두 적용 가능한 방식으로 단순화되고 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 저랭크 성분 $\tilde{\bm{C}}$ 를 위한 주성분 추정기는 오차율 $O_p(N^{-1}) + O_p(T^{-1})$ 로 일관되며, 이는 강한 요인 사례와 동일하다.
• 추정된 요인 공간은 $O_p(N^{-\alpha}) + O_p((N^{1-\alpha}/T)^2)$ 의 속도로 수렴하며, 이는 $\alpha > 0$ 이고 $N^{1-\alpha}/T \to 0$ 일 때 $o_p(1)$ 이다. 이는 요인 공간의 일관된 추정을 보장한다.
• $\sqrt{N^\alpha}(\tilde{\bm{F}}_t - \bm{H}'\bm{F}_t^0)$ 의 점근 정규성은 $\alpha > 1/2$ 가 필요하지만, $\tilde{\bm{F}}_t$ 의 일관성은 $\alpha > 1/3$ 에서 성립하며, $\tilde{\bm{\Lambda}}_i$ 의 일관성은 $\alpha > 0$ 에서 성립한다.
• 이질적 로딩이 존재할 경우 $\alpha_r$ 가 가장 약한 로딩이라면 점근 정규성은 $\alpha_r > 1/2$ 가 필요하지만, 개별 추정치의 일관성은 $\alpha_r \leq 1/2$ 에서도 성립하며, $\alpha_r > 0$ 이면 충분하다.
• 새로운 증명 기법은 기존 유도 과정을 단순화하고, 사용자가 선호하는 점근 분산 표현을 사용할 수 있도록 하여 더 많은 추론의灵活性를 제공한다.
• 시뮬레이션 결과는 추정기가 약한 로딩 하에서도 일관되게 유지되고 잘 작동함을 확인한다. 요인 및 로딩 추정치의 $R^2$ 값은 $T$ 와 $N$ 이 증가함에 따라 향상되며, $\alpha < 1$ 일 때에도 마찬가지로 성능이 양호하다.