[논문 리뷰] Approximate orthogonality of powers for ergodic affine unipotent diffeomorphisms on nilmanifolds

Livio Flaminio, Krzysztof Frączek외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 02.

Geometry and complex manifolds인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 nilmanifold 위의 ergodic affine unipotent diffeomorphism이 점점 더 직교하는 거듭제곱(AOP) 성질을 만족함을 증명하며, 이는 모든 유일 측도 모델과 일반적인 짧은 간격에서 모비우스 함수 직교성의 성립을 암시한다. 핵심 결과는 nilpotent Lie 군과 불변 측도의 구조적 분석을 통해 이러한 시스템에 대한 AOP의 증명이며, 이는 모비우스 직교성의 nilsequence와 nil-translation으로의 확장에 이르게 한다.

ABSTRACT

Let $ G $ be a connected, simply connected nilpotent Lie group and $ \\Gamma < G $ a lattice. We prove that each ergodic diffeomorphism $ \\phi(x\\Gamma)=uA(x)\\Gamma $ on the nilmanifold $ G/\\Gamma $, where $ u\\in G $ and $ A:G\ o G $ is a unipotent automorphism satisfying $ A(\\Gamma)=\\Gamma $, enjoys the property of asymptotically orthogonal powers (AOP). Two consequences follow: (i) Sarnak's conjecture on M\\"obius orthogonality holds in every uniquely ergodic model of an ergodic affine unipotent diffeomorphism; (ii) For ergodic affine unipotent diffeomorphisms themselves, the M\\"obius orthogonality holds on so called typical short interval: $ \\frac1 M\\sum_{M\\leq m<2M}\\left|\\frac1H\\sum_{m\\leq n<m+H} f(\\phi^n(x\\Gamma))\\mu (n)\ ight|\ o 0$ as $ H\ o\\infty $ and $ H/M\ o0 $ for each $ x\\Gamma\\in G/\\Gamma $ and each $ f\\in C(G/\\Gamma) $. In particular, the results in (i) and (ii) hold for ergodic nil-translations. Moreover, we prove that each nilsequence is orthogonal to the M\\"obius function $\\mu$ on a typical short interval. We also study the problem of lifting of the AOP property to induced actions and derive some applications on uniform distribution.

연구 동기 및 목표

• nilmanifold 위의 ergodic affine unipotent diffeomorphism에 대해 점점 더 직교하는 거듭제곱(AOP) 성질을 확립하기.
• 이러한 시스템의 모든 유일 측도 모델에서 사르나크의 모비우스 직교성 추측이 성립함을 증명하기.
• 이러한 동역학 시스템에 대해 일반적인 짧은 간격에서 모비우스 직교성의 성립을 보여주기.
• AOP 성질을 nilsequence와 nil-translation으로 확장하고, 유도된 작용으로의 AOP 전이를 연구하기.
• 균일 분포 이론과 nilpotent 군의 동역학에서의 불변 측도 이론에 응용 제공하기.

제안 방법

• G가 단순 연결된 nilpotent Lie 군이고 Γ가 격자일 때, G/Γ 위의 affine unipotent diffeomorphism φ(xΓ) = uA(x)Γ의 역학을 분석한다.
• nilpotent Lie 대수의 구조와 최소 생성 집합을 이용하여 격자를 유지하는 unipotent 자동형사상 A의 작용을 연구한다.
• 시스템의 거듭제곱들 사이의 조인잉(joining) 이론을 적용하여, 조인잉 집합이 제품 측도로부터 하우스도르프 거리로 수렴함을 통해 AOP 성질을 검증한다.
• 휴면 구조와 범주론적 추론을 활용하여 기저 시스템의 역학과 유도된 작용을 연결한다.
• unipotent 작용과 군 확장에 대한 불변 측도 이론을 활용하여 AOP 성질을 더 일반적인 시스템으로 전이한다.
• 반복 Lie 괄호와 몫 대수를 포함한 Lie 대수 기법을 사용하여, k중 Lie 곱이 k번째 도출 대수를 생성함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 nilmanifold 위의 ergodic affine unipotent diffeomorphism은 점점 더 직교하는 거듭제곱(AOP) 성질을 만족하는가?
• RQ2 AOP 성질은 이러한 시스템의 모든 유일 측도 모델에서 모비우스 직교성의 성립을 암시하는가?
• RQ3 이러한 diffeomorphism에 대해 일반적인 짧은 간격에서 모비우스 직교성이 성립하는가? (H→∞ 이면서 H/M→0)
• RQ4 기저 시스템으로부터 유도된 작용으로 AOP 성질을 전이할 수 있는가?
• RQ5 nilsequence는 일반적인 짧은 간격에서 모비우스 함수와 직교하는가?

주요 결과

• 모든 ergodic affine unipotent diffeomorphism φ(xΓ) = uA(x)Γ는 nilmanifold G/Γ 위에서 AOP 성질을 만족한다.
• 이러한 시스템의 모든 유일 측도 모델에서 사르나크의 모비우스 직교성 추측이 성립한다.
• 각 xΓ ∈ G/Γ 및 f ∈ C(G/Γ)에 대해, 평균 |(1/H)∑_{n=m}^{m+H-1} f(φⁿ(xΓ))μ(n)| 는 H→∞ 이면서 H/M→0일 때 0으로 수렴한다. (M≤m<2M)
• nilsequence는 일반적인 짧은 간격에서 모비우스 함수와 직교한다. 즉, 동일한 조건 하에서 f(φⁿ(xΓ))μ(n)의 짧은 평균은 0이 된다.
• 적절한 정규성 및 에르고딕 조건을 만족하는 코체이의 경우, AOP 성질은 유도된 작용으로 전이된다.
• 임의의 k단계 nilpotent Lie 대수에서 최소 생성 집합 S의 k중 Lie 곱은 k번째 도출 대수 𝔤^{(k)}를 생성한다.