[논문 리뷰] Approximate Solutions of Combinatorial Problems via Quantum Relaxations

Bryce Fuller, Charles Hadfield외 9명|arXiv (Cornell University)|2021. 11. 04.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 고전적 비용 함수를 양자 랜덤 액세스 코드에 영감을 받은 가환 매핑을 통해 국소 양자 해밀토니안으로 매핑하여, 특히 최대 컷(MaxCut) 문제와 같은 NP-난이도를 가진 조합 최적화 문제의 해를 근사하기 위한 새로운 양자 이완 프레임워크를 제안한다. 이 방법은 랜덤 프로젝션을 통해 마법 상태로의 투영과 결정적 파울리 관측량 추정이라는 두 가지 양자 라운딩 프로토콜을 사용하여 최소 0.555 또는 0.625의 근사 비율을 달성하며, 초전도 양자 프로세서를 사용하여 3-40노드 그래프에서 효율적으로 테스트할 수 있다.

ABSTRACT

Combinatorial problems are formulated to find optimal designs within a fixed set of constraints. They are commonly found across diverse engineering and scientific domains. Understanding how to best use quantum computers for combinatorial optimization is to date an open problem. Here we propose new methods for producing approximate solutions for the maximum cut problem and its weighted version, which are based on relaxations to local quantum Hamiltonians. These relaxations are defined through commutative maps, which in turn are constructed borrowing ideas from quantum random access codes. We establish relations between the spectra of the relaxed Hamiltonians and optimal cuts of the original problems, via two quantum rounding protocols. The first one is based on projections to random magic states. It produces average cuts that approximate the optimal one by a factor of least 0.555 or 0.625, depending on the relaxation chosen, if given access to a quantum state with energy between the optimal classical cut and the maximal relaxed energy. The second rounding protocol is deterministic and it is based on estimation of Pauli observables. The proposed quantum relaxations inherit memory compression from quantum random access codes, which allowed us to test the performances of the methods presented for 3-regular random graphs and a design problem motivated by industry for sizes up to 40 nodes, on superconducting quantum processors.

연구 동기 및 목표

• 조합 최적화 문제를 위한 새로운 양자 이완 프레임워크를 개발하여 양자 메모리의 이점을 활용한다.
• 고전적 MaxCut 문제에서 국소 양자 해밀토니안으로의 매핑을 수립하여 에너지 기대값을 유지한다.
• 이완된 양자 기저 상태를 근사 고전적 해로 변환하는 데 사용할 수 있는 양자 라운딩 프로토콜을 설계한다.
• 변분 고유값 해법과 오차 보정을 사용하여 실제 양자 하드웨어에서 제안된 방법의 성능을 테스트한다.
• 3-정규 랜덤 그래프와 산업용 40노드 복합 설계 문제에 대해 이론적 확장성과 효과성을 입증한다.

제안 방법

• 고전적 스핀 구성에서 큐비트의 밀도 행렬로의 가환 매핑을 사용하여 MaxCut 문제의 해밀토니안 이완을 구축함으로써, 해밀토니안의 기대값이 고전적 컷 값과 일치하도록 보장한다.
• 그래프의 국소 밀도 포레스트(LDF) 색칠에 기반한 레이블링 체계를 통해 정점에 파울리 연산자를 할당함으로써 국소적이고 저중량의 해밀토니안을 구현한다.
• 두 가지 양자 라운딩 프로토콜을 도입한다: 하나는 랜덤 마법 상태로의 투영 기반이고, 다른 하나는 파울리 관측량의 결정적 추정을 통해 고전적 컷 값을 추출한다.
• 이완된 해밀토니안은 양자 랜덤 액세스 코드의 메모리 압축 특성을 이어받아 큐비트 수요를 감소시키면서도 원래 문제와의 스펙트럼 대응을 유지한다.
• 초전도 프로세서에서 근사 기저 상태를 준비하기 위해 하드웨어 효율적인 앤사와 함께 변분 양자 고유값 해법(VQE)을 사용하며, 텐서형 측정 필터를 활용해 읽기 오차 보정을 적용한다.
• 이 방법은 IBM의 27큐비트 ibmq_dublin 장치를 사용하여 3-정규 랜덤 그래프와 40노드 산업용 플라이 복합 설계 문제에서 검증되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 조합 최적화 문제의 양자 이완은 기저 상태 에너지가 고전적 컷 값과 대응되도록 구성될 수 있는가?
• RQ2 이완된 양자 기저 상태에 적용된 양자 라운딩 프로토콜을 통해 달성 가능한 근사 비율은 얼마인가?
• RQ3 실제 양자 하드웨어에서 40노드 이하의 그래프에 대해 이 양자 이완 방법의 성능은 어떻게 스케일링되는가?
• RQ4 양자 랜덤 액세스 코드의 메모리 압축 특성을 조합 최적화를 위한 양자 이완에 효과적으로 활용할 수 있는가?
• RQ5 노이지 중간 규모 양자 장치에서 랜덤화된 vs. 결정적 라운딩 전략의 차이는 해의 품질과 내성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 양자 이완 방법은 최적 고전적 컷과 최대 이완 에너지 사이의 에너지를 가진 양자 상태를 사용할 경우, 이완 선택에 따라 평균 근사 비율이 최소 0.555 또는 0.625에 이를 수 있다.
• 마법 상태로의 랜덤 투영 기반 랜덤 라운딩 프로토콜은 최적 값의 약 0.555 또는 0.625 범위 내의 컷을 일관되게 생성한다.
• 파울리 관측량 추정 기반의 결정적 라운딩 프로토콜은 이완된 양자 상태에서 고전적 해를 신뢰할 수 있고 재현 가능한 방식으로 추출할 수 있다.
• 이 방법은 초전도 하드웨어인 27큐비트 IBM ibmq_dublin 프로세서를 사용하여 3-정규 랜덤 그래프와 40노드 산업 설계 문제에서 성공적으로 테스트되었으며, 현재 노이지 하드웨어에서의 실현 가능성을 입증했다.
• 하드웨어 효율적인 앤사와 읽기 오차 보정을 적용한 VQE를 사용함으로써 안정적인 기저 상태 준비와 정확한 에너지 추정이 가능했다.
• 이완된 해밀토니안과 원래 MaxCut 문제 간의 스펙트럼 대응성이 유지되어, 이론적 정확성과 실용성을 입증하는 데 성공했다.