[논문 리뷰] Approximate solutions to large nonsymmetric differential Riccati problems.

M. Hached, Khalide Jbilou|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 04.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 제어 이론 및 운반 방정식 등에서 나타나는 대규모 비대칭 미분 리카티 방정식에 대해 Krylov 기반 모델 순서 축소 기법을 제안한다. 확장 블록 아르니의 방법을 사용해 문제를 작은 Krylov 부분공간에 투영함으로써, 지수 적분기법 또는 BDF/Rosenbrock 스킴을 통해 효율적인 해법이 가능해지며, 계산 비용을 크게 줄이면서도 정확도를 유지한다.

ABSTRACT

In the present paper, we consider large scale nonsymmetric differential matrix Riccati equations with low rank right hand sides. These matrix equations appear in many applications such as control theory, transport theory, applied probability and others. We show how to apply Krylov-type methods such as the extended block Arnoldi algorithm to get low rank approximate solutions. The initial problem is projected onto small subspaces to get low dimensional nonsymmetric differential equations that are solved using the exponential approximation or via other integration schemes such as Backward Differentiation Formula (BDF) or Rosenbrok method. We also show how these technique could be easily used to solve some problems from the well known transport equation. Some numerical experiments are given to illustrate the application of the proposed methods to large-scale problems.

연구 동기 및 목표

• 제어 이론, 운반 및 확률 분야에서 발생하는 대규모 비대칭 행렬 리카티 미분 방정식의 해법에 있어 계산적 과제를 해결하기 위해.
• 이 방정식들에서 우측 항의 저랭크 구조를 유지하는 수치적으로 효율적인 방법을 개발하기 위해.
• Krylov 기법을 통해 작은 저차원 부분공간에 투영하여 대규모 문제의 스케일러블한 해법을 가능하게 하기 위해.
• 운반 방정식에서 유래한 벤치마크 문제들에 대해 제안된 방법의 효과성을 입증하기 위해.
• 감쇠성이 있는 시스템에 적용된 감쇠성 시스템에 적합한 지수 적분기법, BDF 및 Rosenbrock 스킴의 성능 및 정확도를 감소된 설정에서 비교하기 위해.

제안 방법

• 확장 블록 아르니 알고리즘을 적용하여 대규모 리카티 문제의 주요 역학을 반영하는 저차원 Krylov 부분공간을 구성한다.
• 원래의 대규모 비대칭 미분 리카티 방정식을 작은 Krylov 부분공간에 투영하여 저차원 행렬 미분 방정식을 도출한다.
• 감쇠성이 있는 시스템에 적합한 지수 적분기법, 역차분 공식(BDF), 또는 Rosenbrock 방법을 사용하여 저차원 문제를 해결한다.
• 우측 항의 저랭크 구조를 활용하여 해법 과정 全 주기 동안 계산 효율성을 유지한다.
• 통합 후 원래 공간에서의 저랭크 근사로부터 전체 해를 재구성한다.
• 실제 적용 가능성을 입증하기 위해 운반 방정식에서 유도된 문제들에 대해 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Krylov 기반 모델 순서 축소 기법은 저랭크 구조를 지닌 대규모 비대칭 미분 리카티 방정식을 효과적으로 다룰 수 있는가?
• RQ2 감소된 문제에 적용했을 때 지수 적분기법, BDF 및 Rosenbrock 스킴의 정확도 및 효율성은 어떻게 비교되는가?
• RQ3 저랭크 투영이 원래 대규모 시스템의 본질적 역학을 어느 정도 유지하는가?
• RQ4 제안된 방법은 운반 방정식에서 유래한 문제에 대해 효율적으로 적용될 수 있는가?
• RQ5 기존의 전체 순서 해법 대비 CPU 시간 및 메모리 사용량 측면에서 계산적 이득은 어느 정도인가?

주요 결과

• Krylov 기반 투영 기법은 대규모 비대칭 미분 리카티 방정식의 차원을 감소시키면서도 해의 정확도를 유지하는 데 성공하였다.
• 지수 적분기법, BDF 및 Rosenbrock 스킴 모두 감소된 문제에서 안정적이고 정확한 해를 도출하였으며, 비감쇠 성분에 대해 지수 적분기법이 유리한 성능을 보였다.
• 우측 항의 저랭크 구조와 시스템의 본질적 구조를 활용함으로써 계산 비용을 크게 절감하였다.
• 수치 실험을 통해 대규모 문제, 특히 운반 방정식에서 유래한 문제들에 대해 본 방법의 강건성과 확장 가능성을 확인하였다.
• 장시간 통합 동안에도 저차원 모델이 높은 정확도를 유지하며 안정성과 수렴성을 보였다.
• 기존의 직접 해법으로는 메모리 및 시간 제약으로 인해 해결이 불가능한 문제들에 대해서도 본 방법을 적용할 수 있게 되었다.