[논문 리뷰] Approximate Spielman-Teng theorems for random matrices with heavy-tailed entries: a combinatorial view

Vishesh Jain|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 25.

Random Matrices and Applications참고 문헌 21인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 체중이 무거운 항목을 가진 역 리틀우드-오퍼드 문제에 대해 향상된 조합론적 경계를 수립하고, 이를 통해 i.i.d. 중심화된 분산 1을 가진 랜덤 행렬의 최소 특이값에 대한 간소화된 비점근적 경계를 도출한다. $\Pr(s_n(M_n) \leq \eta) \lesssim n^2\eta + \exp(-n^c)$ 를 만족하는 결과를 얻으며, 이는 약간의 최적 결과에 대한 간결한 증명을 제공한다.

ABSTRACT

This paper makes two contributions to the areas of anti-concentration and non-asymptotic random matrix theory. First, we study the counting problem in inverse Littlewood-Offord theory for general random variables: for random variables $\xi_1,\dots,\xi_n$ which are i.i.d. copies of a random variable $\xi$ (satisfying some mild hypotheses), how many integer vectors $\boldsymbol{a}:=(a_1,\dots,a_n)$ in a prescribed box have large $ ho_{1,\xi}(\boldsymbol{a}):=\sup_{x\in \mathbb{R}}\Pr(\sum_{i=1}^{n}\xi_i a_i \in B(x,1))$? Building on recent work of Ferber, Jain, Luh, and Samotij (who treated the case when $\xi$ is a Rademacher random variable), we provide significantly better bounds for this problem than those obtained using the inverse Littlewood-Offord theorems of Tao and Vu, and Nguyen and Vu. Next, we study the non-asymptotic behavior of the least singular value $s_n(M_n)$ of a random $n imes n$ square matrix $M_n$ with i.i.d. entries, which are only assumed to be centered with variance $1$. As an application of our counting theorem, and utilizing and developing a recent work by the author, we show that for all $\eta \geq 0$, $\Pr(s_n(M_n) \leq \eta) \lesssim n^{2}\eta + \exp(-n^{c})$, where $c>0$ is an absolute constant, thereby providing a considerably simpler proof of an approximate version of an essentially optimal result due to Rebrova and Tikhomirov.

연구 동기 및 목표

• 레베마처 변수를 초월하여 체중이 무거운 일반적인 i.i.d. 랜덤 변수로 역 리틀우드-오퍼드 이론을 확장하기 위해.
• 선형 형식에서 큰 집중 확률을 가진 정수 벡터의 수에 대한 기존 경계를 향상시키기 위해.
• 분산 1인 i.i.d. 중심화된 항목을 가진 랜덤 행렬에 대해 최소 특이값 $s_n(M_n)$ 의 비점근적 행동을 분석하기 위해.
• 새로운 수세기 정리에 기반하여 최적의 최소 특이값 경계의 근사치에 대한 더 단순한 증명을 제공하기 위해.

제안 방법

• 큰 집중 확률 $\rho_{1,\xi}(\boldsymbol{a})$ 를 가진 정수 벡터 $\boldsymbol{a}$ 를 상자 안에서 세는 조합론적 프레임워크를 개발한다.
• 페르버 등이 최근에 제시한 비-레베마처 분포에 대한 역 리틀우드-오퍼드 이론 결과를 적응하고 강화한다.
• 새로운 수세기 정리를 적용하여 최소 특이값 $s_n(M_n)$ 의 尾행동을 제어한다.
• 최근 저자의 접근 방식을 활용하고 확장하여 $\Pr(s_n(M_n) \leq \eta)$ 에 대한 비점근적 경계를 유도한다.
• 소특이 값의 확률을 제어하기 위해 반-집중 기법과 지수 모멘트 경계를 활용한다.
• 조합론적 수세기와 확률적 추정을 조합하여 $n^2\eta + \exp(-n^c)$ 의 정도로 정밀한 경계를 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 역 리틀우드-오퍼드 이론은 체중이 무거운 일반적인 i.i.d. 랜덤 변수로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ2 비정규 분포 항목에 대해 높은 집중 확률을 가진 정수 벡터의 수에 대한 더 날카운 조합론적 경계는 무엇인가?
• RQ3 체중이 무거운 항목을 가진 랜덤 행렬의 비점근적 최소 특이값 경계에 대해 더 단순한 증명을 제시할 수 있는가?
• RQ4 최소한의 모멘트 가정 하에 $\Pr(s_n(M_n) \leq \eta)$ 의 $\eta$ 와 $n$ 에 대한 최적의 의존성은 무엇인가?

주요 결과

• 이 논문은 이전의 역 리틀우드-오퍼드 정리보다 정수 벡터의 수에 대해 훨씬 향상된 경계를 제공한다.
• 모든 $\eta \geq 0$ 에 대해 비점근적 경계 $\Pr(s_n(M_n) \leq \eta) \lesssim n^2\eta + \exp(-n^c)$ 를 수립한다. 여기서 $c > 0$ 은 절대 상수이다.
• 레브로바와 티히모로프의 최적 결과의 정성적 행동을 그대로 따르지만, 더 단순한 증명을 제공한다.
• 고차원 확률론의 깊은 도구를 피하고, 조합론적 수세기와 반-집중에 의존한다.
• 최소한의 가정으로 성립한다: 평균이 0이고 분산이 1인 i.i.d. 항목이며, 고차 모멘트가 필요하지 않다.
• 이 프레임워크는 서브-정규 또는 레베마처 변수 외에도 약간의 가정을 만족하는 임의의 i.i.d. 랜덤 변수에 적용 가능하다.