[논문 리뷰] Approximate weak amenability of Banach algebras

G. H. Esslamzadeh, Behrouz Shojaee|arXiv (Cornell University)|2009. 08. 25.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Banach 대수에 대한 네 가지 일반화된 약한 아메니타리성 개념인 근사적, 근사적 약한, 근사적 순환, 근사적 $n$-약한 아메니타리성을 도입하고 연구한다. 만약 두 번째 이중 $$\mathcal{A}^{**}$가 근사적으로 약하게 (또는 $n$-약하게) 아메니타리한 경우, $$\mathcal{A}$도 마찬가지로 근사적으로 약하게 아메니타리하다는 것을 증명하며, 근사적 $(n+2)$-약한 아메니타리성이 근사적 $n$-약한 아메니타리성을 함의한다는 것을 보여, 근사적 아메니타리성 개념의 유전성에 대한 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

In this paper we deal with four generalized notions of amenability which are called approximate, approximate weak, approximate cyclic and approximate $n$-weak amenability. The first two were introduced and studied by Ghahramani and Loy in [9]. We introduce the third and fourth ones and we show by means of some examples, their distinction with their classic analogs. Our main result is that under some mild conditions on a given Banach algebra $\A$, if its second dual $\A^{**}$ is $(2n-1)$-weakly [respectively approximately/ approximately weakly/ approximately $n$-weakly] amenable, then so is $\A$. Also if $\A$ is approximately $(n+2)$-weakly amenable, then it is approximately $n$-weakly amenable. Moreover we show the relationship between approximate trace extension property and approximate weak [respectively cyclic] amenability. This answers question 9.1 of [9] for approximate weak and cyclic amenability.

연구 동기 및 목표

• Banach 대수에서의 아메니타리성 이론을 근사적 개념인 근사적 $n$-약한 아메니타리성과 근사적 순환 아메니타리성 도입 및 분석함으로써 확장하기.
• Ghahramani와 Loy(2009)의 질문 9.1을 다루며, 근사적 약한 및 순환 아메니타리성의 유전성 특성을 조사하기.
• $$\mathcal{A}^{**}$에서 $$\mathcal{A}$로의 근사적 아메니타리성 유전 조건을 설정하기.
• 근사적 추적 확장 성질과 근사적 약한/순환 아메니타리성 간의 관계를 명확히 하여 Gronbaek(1993)의 결과를 일반화하기.

제안 방법

• 고전적 $n$-약한 아메니타리성과 순환 아메니타리성의 일반화로서 근사적 $n$-약한 아메니타리성과 근사적 순환 아메니타리성의 개념을 도입하기.
• 두 번째 이중 $$\mathcal{A}^{**}$에 대한 Arens 곱을 사용하여 모듈러 작용을 분석하고 코homological 성질을 유도하기.
• 만약 $$\mathcal{A}^{**}$가 근사적으로 약하게 (또는 $n$-약하게) 아메니타리한 경우, 약한 조건 하에 $$\mathcal{A}$도 이 성질을 유전함을 증명하기.
• 근사적 추적 확장 성질을 활용하여 도우미 공간에서의 원소 넷을 구성함으로써 도수를 근사적으로 구현하기.
• 특히 첫 번째 코homology 군 $H^1(\mathcal{A}, \mathcal{X})$를 활용하여 근사 도수를 특성화하기 위한 코homology 이론 기법 적용하기.
• 단위화 $$\mathcal{A}^{\#}$를 사용하여 Banach 대수의 아메니타리성과 그 몫 및 아이디얼 구조 간의 관계를 연결하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 언제 $$\mathcal{A}^{**}$가 근사적으로 약하게 아메니타리한가, $$\mathcal{A}$도 근사적으로 약하게 아메니타리한가?
• RQ2 Banach 대수에서 근사적 $(n+2)$-약한 아메니타리성이 근사적 $n$-약한 아메니타리성을 함의하는가?
• RQ3 근사적 추적 확장 성질은 근사적 약한 및 순환 아메니타리성을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 근사적 약한 및 순환 아메니타리성의 유전성 특성은 고전적 대응 개념과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 $$\mathcal{A}^{**}$에서 $$\mathcal{A}$로의 근사적 아메니타리성 유전이 $n$-약한 아메니타리성의 경우 홀수 $n$에 대해서도 성립하는가?

주요 결과

• $$\mathcal{A}^{**}$가 근사적으로 약하게 아메니타리한 경우, 약한 조건 하에 $$\mathcal{A}$도 근사적으로 약하게 아메니타리하다.
• 모든 $n \geq 1$에 대해 근사적 $(n+2)$-약한 아메니타리성이 근사적 $n$-약한 아메니타리성을 함의하며, 고전적 결과를 일반화한다.
• 홀수 $n$에 대해, 만약 $$\mathcal{A}^{**}$가 $(2n-1)$-약하게 아메니타리한 경우, $$\mathcal{A}$는 근사적으로 $n$-약하게 아메니타리하다.
• 근사적 추적 확장 성질은 몫 대수에서 원래 대수로의 근사적 약한 아메니타리성 전이에 대해 필수적이고 충분한 조건이다.
• 근사적 순환 아메니타리성은 $$\mathcal{A}^{*}$ 내의 넷이 도수를 근사적으로 구현한다는 존재성으로 특성화된다.
• 근사적 순환 아메니타리하지만 순환 아메니타리하지 않은 Banach 대수의 예가 존재하여, 근사적 개념의 엄밀함을 보여준다.