[논문 리뷰] Approximately bisimilar symbolic models for nonlinear control systems

Giordano Pola, Antoine Girard외 1명|arXiv (Cornell University)|2007. 06. 02.

Formal Methods in Verification참고 문헌 29인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비선형 제어 시스템에 대해 증분 전역 점점 수렴 안정성(δ-ISS)을 핵심 성질로 사용하여 근사적으로 이sov레이션 기반의 기호 모델을 구성하는 방법을 제안한다. δ-ISS 라플라스 함수를 활용하고 상태 공간 및 입력 공간을 양자화함으로써, 사용자가 정의한 오차 범위 내에서 원래 시스템을 근사하는 기호 모델을 확보하며, 상태 공간이 유계일 경우 유한한 모델을 확보할 수 있다. 주요 기여는 광범위한 비선형 시스템 클래스에 대해 유한하고 근사적으로 이sov레이션 기반의 기호 모델을 체계적이고 공식적으로 구성하는 것이다.

ABSTRACT

Control systems are usually modeled by differential equations describing how physical phenomena can be influenced by certain control parameters or inputs. Although these models are very powerful when dealing with physical phenomena, they are less suitable to describe software and hardware interfacing the physical world. For this reason there is a growing interest in describing control systems through symbolic models that are abstract descriptions of the continuous dynamics, where each "symbol" corresponds to an "aggregate" of states in the continuous model. Since these symbolic models are of the same nature of the models used in computer science to describe software and hardware, they provide a unified language to study problems of control in which software and hardware interact with the physical world. Furthermore the use of symbolic models enables one to leverage techniques from supervisory control and algorithms from game theory for controller synthesis purposes. In this paper we show that every incrementally globally asymptotically stable nonlinear control system is approximately equivalent (bisimilar) to a symbolic model. The approximation error is a design parameter in the construction of the symbolic model and can be rendered as small as desired. Furthermore if the state space of the control system is bounded the obtained symbolic model is finite. For digital control systems, and under the stronger assumption of incremental input-to-state stability, symbolic models can be constructed through a suitable quantization of the inputs.

연구 동기 및 목표

• 소프트웨어 및 하드웨어와 상호작용하는 비선형 제어 시스템의 제어기 합성 문제를 해결하기 위해 통합된 형식적 모델링 프레임워크를 제공하기 위해.
• 이전의 근사 시뮬레이션 작업을 확장하여 이sov레이션 기반의 근사성을 도입함으로써, 기호 모델과 연속 모델 간의 双방향 등가성을 보장하기 위해.
• 설계 가능한 오차 범위 내에서 시스템 행동을 유지하는 유한한 기호 모델을 체계적으로 구성하는 방법을 제공하기 위해.
• 특히 상태 공간이 유계일 경우 기호 모델이 유한해지는 조건을 설정하기 위해.
• 팔다리 제어 시스템에 대해 제안된 방법을 적용하여 실용성과 정확성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 근접한 상태에서 시작하는 궤적들이 유계 입력 차이에 대해 여전히 가까이 유지됨을 보장하는 δ-ISS(증분 입력-상태 안정성)의 개념에 기반한다.
• 안정성 조건을 검증하고 상태 및 입력 변동에 대한 시스템의 민감도를 정량화하기 위해 δ-ISS 라플라스 함수를 구성한다.
• 상태 공간은 크기가 η인 셀들로 분할되고, 입력 공간은 해상도 μ로 양자화되어 기호 상태 및 입력의 유한 집합을 형성한다.
• 기호 모델의 전이 관계는 원래 시스템의 궤적을 시간 간격 τ 동안 수치적으로 통합하여 도달 가능한 상태를 결정함으로써 정의된다.
• 비교 보조정리를 사용하여 오차를 상한선으로 제한함으로써, 기호 모델이 사용자가 정의한 정밀도 ε 내에서 원래 시스템과 근사적으로 이sov레이션 기반임을 보장한다.
• 원래 시스템의 임의의 초기 상태 및 입력에 대해, 그에 대응하는 기호 모델 내의 상태 및 입력가 존재하여 궤적이 ε 거리 이내에 유지됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 증분 전역 점점 수렴 안정성 비선형 제어 시스템은 사용자가 정의한 오차 범위 내에서 유한한 기호 모델로 근사될 수 있는가?
• RQ2 특히 상태 공간이 유계일 경우, 기호 모델이 유한해지는 조건은 무엇인가?
• RQ3 연속 제어 시스템과 그 기호 추상화 간에 근사적 이sov레이션 기반을 어떻게 달성할 수 있는가?
• RQ4 제안된 방법은 조각별로 일정한 입력을 갖는 디지털 제어 시스템에 적용될 수 있는가?
• RQ5 시스템의 δ-ISS 성질과 유한하고 근사적으로 이sov레이션 기반의 기호 모델 존재성 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 증분 전역 점점 수렴 안정성 비선형 제어 시스템은 근사 오차가 설계 파rameter이며 임의로 작게 만들 수 있는 근사적으로 이sov레이션 기반의 기호 모델을 갖는다.
• 상태 공간이 유계일 경우, 결과적으로 기호 모델은 유한해지며, 이는 알고리즘 기반 검증 및 제어기 합성 가능성을 보장한다.
• 증분 입력-상태 안정성을 만족하는 디지털 제어 시스템의 경우, 입력 공간의 양자화를 통해 기호 모델을 구성할 수 있으며, 이는 유한한 추상화를 보장한다.
• 팔다리 사례 연구에서 ε = 0.25, τ = 2, μ = 1.5×10⁻⁴, η = 0.4일 때 근사 조건이 충족되었으며, 이는 방법의 실현 가능성 확인을 보여준다.
• 팔다리에 대해 구성된 기호 모델은 5×5개의 셀로 이루어진 상태 공간과 10,000개의 양자화된 입력 집합을 갖는다. 이는 실용적인 확장성의 가능성을 보여준다.
• 이 방법은 기호 모델에서 설계된 어떤 제어기라도 원래 시스템용 제어기로 정밀화할 수 있으며, 오차 범위 내에서 행동의 등가성을 유지함을 보장한다.