[논문 리뷰] Approximating a group by its solvable quotients

Khalid Bou-Rabee|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 19.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 다항식 성장 여부를 통해 다항군이 가상으로 아벨리안임을 특성화한다. 구체적으로, 이러한 군들이 log(n)에 대해 다항식 성장을 보이는 것과 가상으로 아벨리안임이 서로 동치임을 보인다. 또한 표면 군의 경우, 아벨리안 잔여 유한성 성장이 초다항식이지만 지수함수보다는 느리게 성장함을 증명하며, 이는 비자명 원소의 하위 중심 급수 깊이에 대한 단어 길이 기반 하한을 이끌어낸다.

ABSTRACT

The solvable Farb growth of a group quantifies how well-approximated the group is by its finite solvable quotients. In this note we present a new characterization of polycyclic groups which are virtually nilpotent. That is, we show that a group has solvable Farb growth which is at most polynomial in $\log(n)$ if and only if the group is polycyclic and virtually nilpotent. We also give new results concerning approximating oriented surface groups by nilpotent quotients. As a consequence of this, we prove that a natural number $C$ exists so that any nontrivial element of the $Ck$th term of the lower central series of a finitely generated oriented surface group must have word length at least $k$. Here $C$ depends only on the choice of generating set. Finally, we give some results giving new lower bounds for the solvable Farb growth of some metabelian groups (including the Lamplighter groups).

연구 동기 및 목표

• 다항군의 가상 아벨리안 성질을 그들의 해소 잔여 유한성 성장으로 특성화하기.
• 오리엔티드 표면의 기본군에 대한 아벨리안 잔여 유한성 성장의 渐近 성장률을 규명하기.
• 메타아벨 군, 특히 람플라이터 군을 포함한 메타아벨 군의 정규 잔여 유한성 성장에 대해 새로운 하한을 설정하기.
• 넓은 범위의 군들에서 다항식 잔여 유한성 성장과 가상 아벨리안 성질 간의 관계에 대한 추측을 해결하기.
• 표면 군 내 비자명 원소의 하위 중심 급수 깊이에 대해 단어 길이 기반 정량적 하한을 제시하기.

제안 방법

• 비자명 원소를 단어 길이 n 이내에서 식별하기 위해 필요한 유한 해소 군 몫의 최소 크기를 측정하는 함수 $ F^{ ext{sol}}_{ ext{sol}}(n) $ 를 사용한다.
• 군의 잔여 성질에 관한 J. S. Wilson 의 결과를 응용하여 유한 해소 몫의 구조를 분석한다.
• 표면 군의 아벨리안 잔여 유한성 성장에 대한 상한을 확립하기 위해 $ \text{PSL}_2(\bar{\bbZ}[i]) $ 의 구조 이론을 활용한다.
• 행렬을 $ \bbZ/p\bbZ $ 과 $ \bbZ $ 에 대해 선형대수적 구성법을 통해 핵에 비자명 원소를 생성하며, 이들이 작은 단어 길이에서는 유한 몫에서 살아남지 못하도록 보장한다.
• 백터 공간 $ \bbZ^{2m} $ 과 $ \bbZ^m $ 에서 삼각부등식과 노름 추정을 적용하여 유계 볼 내에서 비자명 핵 원소의 존재를 보인다.
• 유한 해소 몫에서 작은 크기의 몫으로 감지되지 않는, $ \bbZ/p\bbZ \wr \bbZ $ 와 $ \bbZ \wr \bbZ $ 의 와이어드 프로덕트에서 명시적인 원소를 구성함으로써 $ F_{\Gamma}(n) $ 에 대한 하한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 군의 해소 잔여 유한성 성장이 $ \log(n) $ 에 대해 다항식인가?
• RQ2 해소 잔여 유한성 성장이 $ \log(n) $ 에 대해 다항식인 군은 반드시 가상으로 아벨리안인가?
• RQ3 오리엔티드 표면의 기본군에 대한 아벨리안 잔여 유한성 성장의 渐近 성장률은 무엇인가?
• RQ4 메타아벨 군, 예를 들어 람플라이터 군의 정규 잔여 유한성 성장에 대해 새로운 하한을 설정할 수 있는가?
• RQ5 표면 군 내 비자명 원소의 하위 중심 급수 깊이가 그 단어 길이와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 유한 생성 군이 해소 잔여 유한성 성장이 $ \log(n) $ 에 대해 다항식이 되는 것은, 그 군이 해소적이면서 가상으로 아벨리안일 때에만 성립한다.
• 오리엔티드 표면의 기본군에 대해 아벨리안 잔여 유한성 성장은 $ 2^{\sqrt{n}} \lesssim F^{\text{nil}}_{\Gamma}(n) \lesssim 2^n $ 를 만족하며, 이는 초다항식이지만 지수함수보다 느린 성장을 의미한다.
• 생성집합에만 의존하는 상수 $ C > 0 $ 가 존재하여, 표면 군의 모든 비자명 원소 $ \gamma $ 에 대해 $ \gamma \notin \Gamma_{C\|\gamma\|_{\mathcal{X}}} $ 를 만족한다. 즉, $ \gamma $ 는 하위 중심 급수의 $ C\|\gamma\|_{\mathcal{X}} $ 번째 항 외부에 있다.
• $ \bbZ/p\bbZ \wr \bbZ $ 의 람플라이터 군에 대해 정규 잔여 유한성 성장은 $ F_{\Gamma}(n) \gtrsim \sqrt{n} $ 를 만족하며, 이는 비자명한 하한을 의미한다.
• $ \bbZ \wr \bbZ $ 의 와이어드 프로덕트에 대해 정규 잔여 유한성 성장은 $ F_{\Gamma}(n) \gtrsim n^{1/4} $ 를 만족하며, 이는 이전에 알려진 것보다 더 강한 하한을 보여준다.
• 논문은 다항식 잔여 유한성 성장이 $ \log(n) $ 에 대해 성립하는 것이, 유한지수의 잔여 해소 부분군을 가진 군들 중에서 가상 아벨리안 성질을 특성화함을 증명함으로써, 추측을 해결한다.