[논문 리뷰] Approximating classes of functions defined by operators of differentiation or operators of generalised translation by means of algebraic polynomials

Nimete Sh. Berisha, Faton M. Berısha|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 30.

Approximation Theory and Sequence Spaces참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비대칭 일반화 이동 연산자를 통한 정의된 일반화된 미분 평균 연속성으로, 구간 $[-1,1]$ 위의 가중 $L_p$ 공간에서 함수의 최적 근사에 대해 필수적이고도 충분한 조건을 확립한다. 주요 기여는 일반화된 미분 연산자 $D_{x,\nu,\mu}$에 의한 도함수의 부드러움 조건을 통해 근사 클래스를 특성화한 것으로, 최적 근사 오차의 감쇠 속도가 일반화된 미분 평균 연속성으로 측정된 고차 도함수의 부드러움과 연결됨을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, approximation by means of algebraic polynomials of classes of functions defined by a generalised modulus of smoothness of operators of differentiation of these functions is considered. We give structural characteristics of classes of functions defined by the order of best approximation by algebraic polynomials.

연구 동기 및 목표

• 비대칭 일반화 이동 연산자를 통한 정의된 일반화된 부드러움 조건을 통해 $[-1,1]$ 위의 가중 $L_p$ 공간에서 함수의 클래스를 특성화하기.
• 차수 $\leq n-1$인 대수적 다항식에 의한 이러한 함수의 최적 근사에 대해 필수적이고 충분한 조건을 확립하기.
• 최적 근사 오차 $E_n(f)_{p,\alpha,\beta}$의 감쇠 속도가 일반화된 미분 연산자 $D_{x,\nu,\mu}$에 의한 $2r$-번째 도함수의 부드러움과 어떻게 관련되는지 밝히기.

제안 방법

• Jacobi-가중 공간에 맞게 조정된 커널을 포함하는 $R = x\cos t - z\sqrt{1-x^2}\sin t$를 기반으로 비대칭 일반화 이동 연산자 $\tilde{T}_t(f,x)$를 도입한다.
• 가중 $L_p$ 노름에서의 부드러움을 측정하기 위해 일반화된 부드러움 조건 $\tilde{\omega}(f,\delta)_{p,\alpha,\beta} = \sup_{|t|\leq\delta} \|\tilde{T}_t f - f\|_{p,\alpha,\beta}$를 정의한다.
• 함수의 고차 부드러움을 정의하기 위해 일반화된 미분 연산자 $D_{x,\nu,\mu} = (1-x^2)\frac{d^2}{dx^2} + (\mu - \nu - (\nu + \mu + 2)x)\frac{d}{dx}$를 사용한다.
• Jacobi-가중 $L_p$ 노름에서 대수적 다항식의 도함수에 대한 유계성 결과를 활용하여 가중 다항식 근사 이론을 적용한다.
• 최적 근사 오차 $E_n(f)_{p,\alpha,\beta}$의 감쇠 속도와 일반화된 부드러움 조건 $\tilde{\omega}(D_{x,\nu,\mu}^r f, \delta)_{p,\alpha,\beta}$에 의한 $D_{x,\nu,\mu}^r f$의 부드러움 사이의 등가성을 확립한다.
• 부가성 및 이중성 조건을 만족하는 모듈러스 연속성 유형의 함수 $\varphi$를 사용하여 부드러움을 정량화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최적 근사 오차 $E_n(f)_{p,\alpha,\beta}$가 $\varphi(1/n)$의 속도로 감쇠하기 위한 일반화된 부드러움 조건 $\tilde{\omega}(f,\delta)_{p,\alpha,\beta}$에 대해 필수적이고 충분한 조건은 무엇인가?
• RQ2 일반화된 의미에서의 $2r$-번째 도함수 $D_{x,\nu,\mu}^r f$의 부드러움은 최적 근사 오차 $E_n(f)_{p,\alpha,\beta}$와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 최적 근사 오차와 일반화된 부드러움 사이의 등가성이 성립하는 매개변수 $p$, $\alpha$, $\beta$, $\nu$, $\mu$의 정확한 범위는 무엇인가?

주요 결과

• 최적 근사 오차 $E_n(f)_{p,\alpha,\beta}$가 $E_n(f)_{p,\alpha,\beta} \leq C_1 \varphi(1/n)$을 만족하는 것은, 함수 $\varphi$가 모듈러스 연속성 유형일 때, 일반화된 부드러움 조건 $\tilde{\omega}(f,\delta)_{p,\alpha,\beta} \leq C_2 \varphi(\delta)$를 만족하는 것과 필요충분이다.
• 모든 $r \geq 0$에 대해, 감쇠 속도 $E_n(f)_{p,\alpha,\beta} \leq \frac{C_1}{n^{2r}} \varphi(1/n)$은 일반화된 부드러움 조건 $\tilde{\omega}(D_{x,\nu,\mu}^r f, \delta)_{p,\alpha,\beta} \leq C_2 \varphi(\delta)$와 등가이며, 여기서 $D_{x,\nu,\mu}^0 f = f$이다.
• 매개변수 $\alpha$, $\beta$, $\nu$, $\mu$, $p$에 대한 조건가 명시적으로 제시되며, $1 < p < \infty$일 때 $\alpha > 1 - \frac{1}{2p}$, $\beta > 1 - \frac{1}{2p}$ 및 $p = \infty$일 때 $\alpha, \beta \geq 1$와 같은 제약 조건 하에서 등가성이 성립함을 보장한다.
• 비대칭 일반화 이동 연산자를 사용하여, Jacobi 가중 $L_p$ 공간으로의 고전적 잭슨 유형 정리의 일반화를 달성한다.
• 함수 $\varphi$에 대해 비교적 약한 조건, 즉 이중성 및 비교 가능성 성질을 만족하면, 특성화의 강건성을 확보할 수 있다.
• $\varphi(\delta) = \delta^\lambda$ 이고 $2\lambda_0 < \lambda < 2$일 경우, 이 결과는 이전 연구(예: [13])에서 알려진 정확한 추정치를 회복하고 확장한다. 특히 $r=0$일 때 성립한다.