[논문 리뷰] Approximating Dynamic Time Warping and Edit Distance for a Pair of Point Sequences

Pankaj K. Agarwal, Kyle Fox외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 07.

Time Series Analysis and Forecasting인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 ℝᵈ 내에서 잘 정의된 점 순서열에 대해 동적 시간 왜곡(DTW)과 편집 거리(ED)에 대한 처음으로 비제곱 시간 근사 알고리즘을 제시한다. 기하 분할을 통해 동적 프로그래밍 테이블의 항목 수를 줄이며, κ-패킹 및 κ-바운디드 곡선에 대해 (1+ε)-근사값을 near-linear 시간 내에 달성하고, 백본 순서열에 대해서는 비제곱 시간을 확보한다. 이는 공간적 성질을 활용해 계산을 최적화한다.

ABSTRACT

We give the first subquadratic-time approximation schemes for dynamic time warping (DTW) and edit distance (ED) of several natural families of point sequences in $\mathbb{R}^d$, for any fixed $d \ge 1$. In particular, our algorithms compute $(1+\varepsilon)$-approximations of DTW and ED in time near-linear for point sequences drawn from k-packed or k-bounded curves, and subquadratic for backbone sequences. Roughly speaking, a curve is $κ$-packed if the length of its intersection with any ball of radius $r$ is at most $κ\cdot r$, and a curve is $κ$-bounded if the sub-curve between two curve points does not go too far from the two points compared to the distance between the two points. In backbone sequences, consecutive points are spaced at approximately equal distances apart, and no two points lie very close together. Recent results suggest that a subquadratic algorithm for DTW or ED is unlikely for an arbitrary pair of point sequences even for $d=1$. Our algorithms work by constructing a small set of rectangular regions that cover the entries of the dynamic programming table commonly used for these distance measures. The weights of entries inside each rectangle are roughly the same, so we are able to use efficient procedures to approximately compute the cheapest paths through these rectangles.

연구 동기 및 목표

• 정확한 계산이 SETH 하에 거의 제곱 시간이 되는 것으로 알려진 ℝᵈ 내 점 순서열에 대해 DTW와 ED에 대한 효율적인 (1+ε)-근사 알고리즘을 개발하는 것.
• 입력 순서열의 기하적 성질을 활용하여 동적 프로그래밍 테이블의 계산 병목 현상을 해결하는 것.
• κ-패킹, κ-바운디드, 백본 순서열과 같은 자연스러운 궤적 클래스에 대해 near-linear 또는 비제곱 시간 실행 시간을 달성하는 것.
• GPS 궤적, 터치스크린 패턴, 시계열 분석과 같은 실세계 응용 분야에서 확장 가능한 유사도 계산을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 점들을 잘 분리된 쌍으로 묶기 위해 계층적 4분할 트리 기반의 평면 분해를 구성하는 것.
• 입력 테이블의 사각형 영역에서 항목 가중치가 근사적으로 일정함을 정의하여 효율적인 근사 계산을 가능하게 하는 것.
• 각 사각형 영역을 통과하는 최소 비용 경로를 유지하고 쿼리하기 위해 완전 이진 트리를 사용하며, 각 연산에 O(log n) 시간이 소요됨.
• κ-패킹, κ-바운디드, 백본 성질과 같은 기하 제약 조건을 적용하여 처리해야 할 관련 테이블 항목의 수를 제한하는 것.
• 곡선의 규칙성 덕분에 경계 항목 수 (|∂U|) 가 작기 때문에 효율적인 업데이트 및 쿼리가 보장됨.
• 공간 국소성과 곡선의 구조를 활용해 동적 프로그래밍 테이블 항목의 처리 수를 줄여 비제곱 성능를 달성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℝᵈ 내 자연스러운 기하적 구조를 가진 점 순서열에 대해 (1+ε)-근사 DTW와 ED를 비제곱 시간 내에 계산할 수 있는가?
• RQ2 어떤 점 순서열의 기하적 성질이 동적 프로그래밍 테이블 항목의 처리 수를 크게 줄일 수 있는가?
• RQ3 κ-패킹 또는 κ-바운디드 곡선에 대해 DTW와 ED를 near-linear 시간 내에 달성할 수 있는가?
• RQ4 이 방법을 백본 순서열로 확장하여 고차원에서 비제곱 알고리즘을 도출할 수 있는가?
• RQ5 입력 기하 구조에 기반한 유사한 테이블 축소 기법을 활용해 더 넓은 범위의 기하 최적화 문제를 해결할 수 있는가?

주요 결과

• κ-패킹 및 κ-바운디드 곡선에 대해 ℝᵈ 내에서 (1+ε)-근사값을 near-linear 시간 내에 달성하며, 고정된 ε 및 d에 대해 실행 시간은 O(n log n)이다.
• 백본 순서열에 대해 알고리즘은 비제곱 시간 내에 실행되며, 최적의 파rameter 설정 하에 O(n^{2-1/(d+1)}) 시간이 소요된다.
• 관련 동적 프로그래밍 테이블 항목 수는 κ-패킹에 대해 O(κ/ε n), κ-바운디드에 대해 O(κᵈ/εᵈ n), 백본 순서열에 대해 O(n^{2-1/(d+1)}/ε^{1-1/(d+1)})로 제한된다.
• 완전 이진 트리 자료구조를 사용함으로써 각 사각형 영역을 통과하는 최소 경로 비용을 유지하기 위한 효율적인 O(log n) 업데이트 및 쿼리가 가능하다.
• 기하 제약 조건을 활용해 처리해야 할 테이블 항목의 수를 줄여 대규모 순서열에 대해서도 확장 가능하게 한다.
• 이론적 경계는 SETH 하에 날카롭게 유지되며, 이는 임의의 순서열에 대해 비제곱 알고리즘이 불가능할 것임을 확인함으로써, 구조화된 입력에 집중하는 것이 타당함을 뒷받침한다.