[논문 리뷰] Approximating fixed points of enriched Chatterjea contractions by Krasnoselskij iterative method in Banach spaces

Vasile Berinde, Mădălina Pačurar|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 05.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 37인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간에서 풍부화된 찬드라제아 수축을 도입하여, 크라스노셀스키 반복 방법을 통해 고정점의 존재성과 수렴성을 증명한다. Krasnoselskij 반복이 이 클래스에 대해 고정점을 근사하는 데 있어 피카르 반복보다 더 적합하며, Krasnoselskij 평균화와 풍부화된 수축 조건을 통해 고전적 찬드라제아 및 칸난 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

Using the technique of enrichment of contractive type mappings by Krasnoselskij averaging, introduced in [Berinde, V., {\it Approximating fixed points of enriched nonexpansive mappings by Krasnoselskij iteration in Hilbert spaces}, Carpathian J. Math. {\bf 35} (2019), no. 3, 277-288.], we introduce the class of enriched Chatterjea contractions and prove general fixed point theorems for such contractions in the setting of a Banach space. Examples to illustrate the richness of the new class of contractions and the relationship between enriched Banach contractions, enriched Kannan contractions and enriched Kannan contractions are also given.

연구 동기 및 목표

• 바나흐 공간에서 찬드라제아 유형 수축에 대해 크라스노셀스키 평균화 기법을 확장한다.
• 풍부화된 찬드라제아 수축이라고 불리는 새로운 맵핑 클래스를 정의하고 연구한다. 이는 고전적 찬드라제아 및 칸난 수축을 일반화한다.
• 이 맵핑에 대해 피카르 반복이 아닌 크라스노셀스키 반복이 고정점을 근사할 수 있음을 보여준다.
• 크라스노셀스키 반복적 방법을 사용하여 풍부화된 찬드라제아 맵핑에 대한 일반 고정점 정리를 수립한다.

제안 방법

• k ≥ 0 및 b ∈ [0, 1/2)일 때, 수축 조건에 k와 b를 포함하는 (k,b)-풍부화된 찬드라제아 맵핑의 개념을 도입한다.
• λ ∈ (0,1]일 때, Tλ(x) = (1−λ)x + λTx로 정의하여 크라스노셀스키 평균화를 적용함으로써 원래 맵핑을 고정점 분석에 적합한 형태로 변환한다.
• Tλ에 대해 풍부화된 찬드라제아 조건과 유사한 준수축 형태 사이의 등가성을 이용하여, Ćirić의 고정점 정리를 적용할 수 있도록 한다.
• k > 0일 경우, λ = 1/(k+1)로 설정하여 수축 조건을 Tλ의 형태로 재표현함으로써 Tλ가 찬드라제아 유형 준수축을 만족함을 보인다.
• k = 0일 경우, 고전적 찬드라제아 사례로 수렴하며, 이 경우 피카르 반복이 직접 적용된다.
• Fix(T) = {p}임을 증명하고, 임의의 x0 ∈ X에 대해 xn+1 = (1−λ)xn + λT(xn)로 정의된 {xn}이 p로 수렴함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크라스노셀스키 평균화 기법을 바나흐 공간 내 찬드라제아 유형 수축에 확장할 수 있는가?
• RQ2 피카르 반복이 실패할 경우, 풍부화된 찬드라제아 맵핑에 대해 크라스노셀스키 반복이 고정점으로 수렴하는가?
• RQ3 풍부화된 찬드라제아 수축의 클래스는 풍부화된 반바흐 및 풍부화된 칸난 수축과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 k 매개변수가 찬드라제아 수축을 풍부화시키고 크라스노셀스키 수렴을 가능하게 하는 데서 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ5 풍부화된 찬드라제아 맵핑에 대한 고정점 정리는 Ćirić의 준수축 프레임워크를 통해 유도될 수 있는가?

주요 결과

• k = 0일 때 원래 사례로 복원되며, (k,b)-풍부화된 찬드라제아 맵핑의 클래스는 고전적 찬드라제아 수축을 일반화한다.
• 모든 k ≥ 0 및 b ∈ [0, 1/2)에 대해 맵핑 T는 풍부화된 찬드라제아 조건을 만족하며 유일한 고정점을 가진다.
• 모든 x0 ∈ X에 대해 Krasnoselskij 반복 {xn+1 = (1−λ)xn + λT(xn)}이 고정점 p로 수렴하며, λ ∈ (0,1]은 k에 따라 결정된다.
• k > 0일 경우, 평균화된 맵핑 Tλ는 찬드라제아 유형 준수축 조건을 만족하며, Ćirić의 정리에 의해 수렴이 보장된다.
• 고정점은 유일하며, 수렴은 초기점 x0에 독립적이다.
• 결과는 풍부화된 프레임워크 내에서 고전적 찬드라제아, 칸난, 반바흐 고정점 정리를 일반화한다.