[논문 리뷰] Approximating Fixed Points of Nonexpansive Mappings by a Faster Iteration Process

Nazli Kadioglu, İsa Yıldırım|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 26.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 8인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간에서 비확장 사상의 고정점 근사화를 위한 새로운 반복 과정을 제안하며, 피카르, 만, 이시카와, S-반복, 일반화된 S-반복 과정보다 수렴 속도가 빠르다. 제안된 방법은 두 개의 매개변수를 포함하는 삼단계 반복을 사용하며, 균일하게 볼록하고 바나흐 공간에서 표준 조건 하에 강수렴 및 약수렴 정리를 확립한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider a new iteration process which is faster than all of Picard, Mann, Ishikawa and Agarwal et al. processes. We also prove some strong and weak convergence theorems for the class of nonexpansive mappings in Banach spaces.

연구 동기 및 목표

• 기존의 고전적 및 현대적 방법들과 비교해 더 빠른 수렴 속도를 보이는 고정점 근사화를 위한 새로운 반복 과정을 개발한다.
• 특히 계산 및 수치 응용 분야에서 고정점 반복의 수렴 속도 향상 필요성을 해결한다.
• 일般 및 균일하게 볼록 바나흐 공간에서 제안된 반복의 강수렴 및 약수렴 정리를 수립한다.
• 조건 (A) 및 옵아일 유형 조건을 포함한 최소한의 가정 하에 수렴을 증명한다.
• 이론적 비교 및 수치적 증거를 통한 새로운 과정의 수렴 속도 우수성을 입증한다.

제안 방법

• 삼단계 반복 체계를 제안: $ x_{n+1} = T y_n $, $ y_n = (1 - \alpha_n) z_n + \alpha_n T z_n $, $ z_n = (1 - \beta_n) x_n + \beta_n T x_n $, $ \alpha_n, \beta_n \in (0,1) $.
• 베린데의 정의에 기반한 수렴 속도 개념을 사용하며, 수열 간 비교를 위해 극한 $ \lim_{n \to \infty} \frac{|a_n - a|}{|b_n - b|} $ 을 활용한다.
• 약수렴을 증명하기 위해 옵아일 조건 및 반폐쇄성 성질을 적용한다.
• 균일하게 볼록 바나흐 공간 개념을 활용하여 약수열 수렴성과 약수렴점의 유일성을 보장한다.
• 강수렴을 확립하기 위해 조건 (A) — $ \|x - Tx\| $ 과 $ d(x, F(T)) $ 를 연결하는 함수 불등식 — 를 사용한다.
• 함수 $ f $ 가 존재하여 $ f(0) = 0 $, $ r > 0 $ 이면 $ f(r) > 0 $ 이고, $ \|x - Tx\| \geq f(d(x, F(T))) $ 를 만족함을 통해 강수렴을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비확장 사상에 대해 피카르, 만, 이시카와, S-반복, 일반화된 S-반복 과정보다 수렴 속도가 더 빠른 새로운 반복 과정을 설계할 수 있는가?
• RQ2 바나흐 공간과 사상에 대한 어떤 조건이 제안된 반복의 약수렴 또는 강수렴을 보장하는가?
• RQ3 베린데의 정의에 따라 새로운 과정의 수렴 속도는 기존 방법들과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ4 특히 사상이 조건 (A) 를 만족할 경우, 어떤 조건에서 반복이 강수렴하는가?
• RQ5 옵아일 조건 또는 쌍대 사상에 의해 균일하게 볼록 바나흐 공간에서 제안된 과정이 유일한 고정점으로 수렴하는가를 입증할 수 있는가?

주요 결과

• 이론적 비교를 통해 베린데의 수렴 속도 정의에 기반해, 새로운 과정은 수축에 대해 피카르, 만, 이시카와, S-반복, 일반화된 S-반복 과정보다 더 빠르게 수렴함을 확인하였다.
• 옵아일 조건을 만족하는 균일하게 볼록 바나흐 공간에서, 새로운 과정에 의해 생성된 수열 $ \{x_n\} $ 은 고정점으로 약수렴한다.
• 조건 (A) 가 성립할 경우, 컴팩트성 또는 반폐쇄성 조건 없이도 반복이 고정점으로 강수렴한다.
• 고정점으로 수렴하기 위해 필수적인 극한 $ \lim_{n \to \infty} \|x_n - T x_n\| = 0 $ 이 확립되었다.
• 옵아일 조건 및 쌍대 사상에 의해 약수렴점의 유일성이 증명되었으며, 모든 약수렴점이 일치함을 보였다.
• 이 과정은 이전의 기법들과 독립적이며, $ \beta_n = 0 $ 이면 피카르 과정으로, $ \alpha_n = \beta_n = 0 $ 이면 일반화된 S-반복 과정으로 간주된다.