[논문 리뷰] Approximating matrices and convex bodies through Kadison-Singer

Omer Friedland, Pierre Youssef|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 12.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 32인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 카디슨-사이먼 문제의 해를 이용한 새로운 행렬 근사 방법을 제시하며, 안정적 랭크에 비례하는 크기의 부분행렬 선택을 가능하게 하여 이전 연구에서 존재하던 로그 인자 없애는 데 성공한다. 동일한 가중치를 가진 최적의 희박화를 달성하고 존의 분해에서 접점 문제를 완전히 해결하여, 바나흐-마자르 거리에서 1+ε 이내로 임의의 볼록체를 근사하는 데 O(n)/ε²개의 접점이 필요한 볼록체를 제공한다.

ABSTRACT

We show that any $n imes m$ matrix $A$ can be approximated in operator norm by a submatrix with a number of columns of order the stable rank of $A$. This improves on existing results by removing an extra logarithmic factor in the size of the extracted matrix. Our proof uses the recent solution of the Kadison-Singer problem. We also develop a sort of tensorization technique to deal with constraint approximation problems. As an application, we provide a sparsification result with equal weights and an optimal approximate John's decomposition for non-symmetric convex bodies. This enables us to show that any convex body in $\mathbb{R}^n$ is arbitrary close to another one having $O(n)$ contact points and fills the gap left in the literature after the results of Rudelson and Srivastava by completely answering the problem. As a consequence, we also show that the method developed by Guédon, Gordon and Meyer to establish the isomorphic Dvoretzky theorem yields to the best known result once we inject our improvements.

연구 동기 및 목표

• 행렬 근사에서 열 부분집합 선택에 대한 기존 결과에서 존재하던 로그 인자를 제거하는 것.
• 기존 가중치 기반 접근법을 향상시켜 동일한 열 가중치를 가진 희박화 방법을 개발하는 것.
• 비대칭 볼록체에 대한 존의 분해에서 접점 수를 최소화하는 열린 문제를 해결하는 것.
• 차원 상한에서 추가 로그 인자를 제거함으로써 최적의 이sovolumetric Dvoretzky 정리를 확보하는 것.
• 루델슨과 스리바스타바의 이전 결과들을 통합하고 개선하는 것.

제안 방법

• 카디슨-사이먼 문제의 해를 활용하여 연산자 노름에서 원래 행렬을 근사하는 안정적 랭크 크기의 부분행렬을 구성하는 것.
• 행렬 및 볼록 기하학에서 제약 조건 근사 문제를 다루기 위해 텐서화 기법을 도입하는 것.
• ‖ADA* − AA*‖ ≤ ε‖A‖²를 확보하기 위해 O(srank(A)/ε²)개의 비영원소를 가진 대각행렬 D를 통한 재가중치 부여 기법을 적용하는 것.
• 개선된 행렬 근사를 루델슨의 프레임워크에 블랙박스로 적용하여 O(n)/ε²개의 접점이 있는 볼록체 H를 구성하는 것.
• 논문의 제4.1정리에 의해 루델슨의 접점 수에서의 로그 인자를 안정적 랭크 기반의 상한으로 대체하는 것.
• 골든과 게돈-마이어의 가우시안 과정 부등식을 활용하여 개선된 행렬 근사를 조합함으로써 최적의 이sovolumetric Dvoretzky 정리를 달성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 안정적 랭크 크기의 부분행렬을 사용하여 로그 인자가 없는 행렬 근사를 달성할 수 있는가?
• RQ2 연산자 노름 근사성을 유지하면서도 동일한 열 가중치를 가진 희박화가 가능한가?
• RQ3 임의의 볼록체를 바나흐-마자르 거리에서 1+ε 이내로 근사할 수 있는 볼록체가 가질 수 있는 최소 접점 수는 얼마인가?
• RQ4 차원 상한에서 추가 로그 인자가 없는 이sovolumetric Dvoretzky 정리를 증명할 수 있는가?
• RQ5 카디슨-사이먼 문제의 해를 볼록 기하학 및 행렬 근사 문제에 체계적으로 적용하는 방법은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 기존 결과에서 존재하던 로그 인자를 제거한 O(srank(A)/ε²) 크기의 부분행렬을 통한 행렬 근사를 달성한다.
• 동일한 가중치를 가진 희박화 결과를 제공하며, 대각행렬 D는 O(srank(A)/ε²)개의 비영원소를 가지며, A = κ~A일 때 각 비영원소는 cε²‖A‖²/κ²로 동일하다.
• Rⁿ 내 임의의 볼록체 K에 대해, H ⊂ K ⊂ (1+ε)H를 만족하는 최대 Cn/ε²개의 접점이 있는 볼록체 H가 존재함을 보여, 루델슨과 스리바스타바의 결과 사이에 오랫동안 존재하던 격차를 해결한다.
• 이 방법은 최적의 이sovolumetric Dvoretzky 정리를 도출하며, 임의의 k ≤ cn에 대해 K의 k차원 절단이 유클리드 구와 거리 C√(k / ln(1+n/k)) 이내에 있음을 보여, 추가 로그 인자가 없음을 입증한다.
• 루델슨의 결과 대신 제4.1정리를 사용함으로써, 접점 수에서의 로그 인자가 개선된 행렬 근사를 사용할 경우 불필요하다는 것이 증명된다.
• 안정적 랭크는 행렬 작용의 효과적 차원을 반영하므로, 근사에서 부분행렬 크기의 적절한 척도로 적합함이 입증된다.