[논문 리뷰] Approximating multicut and the demand graph

Chandra Chekuri, Vivek Madan|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 16.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 요구 그래프가 크기 t의 유도된 매칭을 포함하지 않을 경우, n^O(t) 시간 내에 2-근사 알고리즘을 제시한다. 이는 유량-자르기 갭을 사용하는 대신 균일한 거리 레이블링으로의 감소를 통해 이루어지며, 비방향 Multicut 문제에 대한 것이다. 반면, 유일성 게임 추측을 바탕으로, 고정된 요구 그래프를 가진 방향 Multicut에 대해서는 최악의 유량-자르기 갭을 초월하는 보다 나은 근사가 존재하지 않음을 증명하며, 특정 유도된 부분그래프를 포함하지 않는 경우 k-근사 알고리즘을 제시하여, 방향 다중경로 컷 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

In the minimum Multicut problem, the input is an edge-weighted supply graph G = (V, E) and a demand graph H = (V, F). Either G and H are directed (Dir-MulC) or both are undirected (Undir-MulC). The goal is to remove a minimum weight set of supply edges E' ⊆ E such that in G − E' there is no path from s to t for any demand edge (s, t) ∈ F. Undir-MulC admits O(log k)-approximation where k is the number of edges in H while the best known approximation for Dir-MulC is min{k, O(|V|11/23)}. These approximations are obtained by proving corresponding results on the multicommodity flow-cut gap. In this paper we consider the role that the structure of the demand graph plays in determining the approximability of Multicut. We obtain several new positive and negative results.In undirected graphs our main result is a 2-approximation in nO(t) time when the demand graph excludes an induced matching of size t. This gives a constant factor approximation for a specific demand graph that motivated this work, and is based on a reduction to uniform metric labeling and not via the flow-cut gap.In contrast to the positive result for undirected graphs, we prove that in directed graphs such approximation algorithms can not exist. We prove that, assuming the Unique Games Conjecture (UGC), that for a large class of fixed demand graphs Dir-MulC cannot be approximated to a factor better than the worst-case flow-cut gap. As a consequence we prove that for any fixed k, assuming UGC, Dir-MulC with k demand pairs is hard to approximate to within a factor better than k. On the positive side, we obtain a k approximation when the demand graph excludes certain graphs as an induced subgraph. This generalizes the known 2 approximation for directed Multiway Cut to a larger class of demand graphs.

연구 동기 및 목표

• 요구 그래프의 구조적 성질이 Multicut 문제의 근사 가능성에 어떻게 영향을 미치는지 조사하기 위해.
• 요구 그래프의 특정 구조적 제약 조건을 활용하여 Multicut에 대한 향상된 근사 알고리즘을 개발하기 위해.
• 유일성 게임 추측 하에 방향 Multicut의 엄격한 근사 불가능 경계를 설정하기 위해.
• 기존 결과, 예를 들어 방향 다중경로 컷에 대한 2-근사 결과를 더 넓은 요구 그래프 클래스로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 요구 그래프가 크기 t의 유도된 매칭을 포함하지 않을 경우, 비방향 Multicut 문제를 균일한 거리 레이블링 문제로 감소시킨다.
• 요구 그래프의 구조를 기반으로 동적 프로그래밍 기법을 적용하여 n^O(t) 시간 내에 2-근사 알고리즘을 달성한다.
• 유일성 게임 추측을 활용하여 고정된 요구 그래프를 가진 방향 Multicut에 대한 근사 불가능성 하한을 증명한다.
• 방향 Multicut에 대해 k-근사 알고리즘을 가능하게 하는 금지된 유도된 부분그래프를 식별하며, 다중경로 컷 결과를 확장한다.
• 요구 그래프의 구조와 관련된 다중물류 유량-자르기 갭을 분석하지만, 주요 긍정적 결과에서는 이를 의존하지 않는다.
• 구조적 그래프 이론을 적용하여 상수 요소 근사가 가능한 요구 그래프의 특성을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 요구 그래프의 구조를 제한함으로써 Multicut의 근사 가능성은 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 요구 그래프의 어떤 구조적 성질이 비방향 Multicut에 대해 상수 요소 근사 알고리즘을 가능하게 하는가?
• RQ3 유일성 게임 추측 하에, 고정된 요구 그래프를 가진 방향 Multicut에 대해 엄격한 근사 불가능 경계는 무엇인가?
• RQ4 방향 다중경로 컷에 대한 2-근사 결과는 더 넓은 요구 그래프 클래스로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 유도된 매칭이나 기타 부분그래프의 존재는 유량-자르기 갭과 근사 난이도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 요구 그래프가 크기 t의 유도된 매칭을 포함하지 않을 경우, Undir-MulC에 대해 n^O(t) 시간 내에 2-근사 알고리즘을 달성한다.
• 이 근사 결과는 유량-자르기 갭 분석을 통해가 아니라, 균일한 거리 레이블링으로의 감소를 통해 도출된다.
• 유일성 게임 추측 하에, 고정된 방향 요구 그래프의 광범위한 클래스에 대해 최악의 유량-자르기 갭을 초월하는 보다 나은 근사가 존재하지 않는다.
• 임의의 고정된 k에 대해, k개의 요구 쌍을 가진 Dir-MulC는 UGC 하에 k보다 더 나은 요소로 근사될 수 없다.
• 요구 그래프가 특정 유도된 부분그래프를 포함하지 않을 경우, Dir-MulC에 대해 k-근사 알고리즘을 달성하며, 이는 다중경로 컷 결과를 일반화한다.
• 요구 그래프에 대한 구조적 제약 조건이 비방향 및 방향 설정 모두에서 Multicut의 근사 가능성 결정에 결정적인 영향을 미친다.