[논문 리뷰] Approximating regions of attraction of a sparse polynomial differential system *

Didier Henrion, Matteo Tacchi외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 21.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 18인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 희소 다항식 미분방정식(ODE)의 유한시간 영역 안정성 분석을 위한 계산적으로 타당한 안정성 분석을 가능하게 하는 볼록 최적화 프레임워크를 제안한다. 이 프레임워크는 Lasserre 모멘트-SOS 계층 구조를 기반으로 하며, 유한시간 영역의 안정성(ROA)의 외부 근사치를 계산한다. 희소성 구조를 활용함으로써 계산 복잡도를 감소시키면서도 수치적으로 검증 가능한 근사치를 제공하며, 20차원까지의 Van-der-Pol 진동자 체인에서 degree 12에서 수렴함을 입증하였다.

ABSTRACT

Motivated by stability analysis of large scale power systems, we describe how the Lasserre (moment-sums of squares, SOS) hierarchy can be used to generate outer approximations of the region of attraction (ROA) of sparse polynomial differential systems, at the price of solving linear matrix inequalities (LMI) of increasing size. We identify specific sparsity structures for which we can provide numerically certified outer approximations of the region of attraction in high dimension. For this purpose, we combine previous results on non-sparse ROA approximations with sparse semi-algebraic set volume computation.

연구 동기 및 목표

• 전력 시스템 안정성 분석에서 발생하는 대규모 희소 다항식 ODE에서 영역 안정성(ROA)의 계산적으로 타당한 근사치를 도출하기 위한 방법을 개발한다.
• Lasserre 모멘트-SOS 계층을 희소 시스템으로 확장하여, 볼록 최적화를 통해 유한시간 ROA의 외부 근사치를 제공한다.
• 역동성의 희소성과 준대수집합의 구조를 활용하여 고차원 시스템에서 수치적으로 검증 가능한 ROA의 외부 근사치를 제공한다.
• 리아프노프 기반 방법에서 비볼록 이항 SOS 공식화의 한계를 극복하기 위해, ROA 추정 문제를 볼록 선형행렬부등식(LMI) 문제로 재구성한다.
• 해당 접근법이 고차원 시스템(예: Van der Pol 진동자 체인)에서의 타당성과 확장 가능성을 입증한다.

제안 방법

• 이 방법은 차수를 증가시키는 선형행렬부등식(LMI)을 풀어 유한시간 ROA의 외부 근사치를 순차적으로 생성하는 데 Lasserre 모멘트-SOS 계층을 활용한다.
• 시스템 역동성의 희소성은 다항식 ODE를 상호작용이 약한 하위계로 구성된 사슬 구조로 표현함으로써 활용된다. 각 하위계는 오직 인접한 하위계에 의존한다.
• 비희소 ROA 근사 기법과 희소 준대수집합 부피 계산 기법을 융합하여 계산 부담을 감소시키면서도 정확도를 유지한다.
• 유한시간 ROA는 점유 측도를 통해 기술되고, 구조적 희소성을 갖는 제곱합(SOS) 증명을 사용해 볼록 LMI 문제로 이중화된다.
• 이 방법은 원-대칭 프레임워크를 사용하며, 이중 문제에서 도출된 SOS 기반 증명이 ROA의 외부 근사치를 정의한다.
• 수치적 구현은 YALMIP과 MOSEK를 사용하며, 결정 변수를 효율적으로 선언하고 해를 구한다. 이는 고차원 시스템(예: 20차원)에서도 성공적으로 수행된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lasserre 모멘트-SOS 계층은 희소 다항식 ODE에서 유한시간 영역 안정성(ROA)의 수치적으로 검증 가능한 외부 근사치를 제공하기 위해 적응될 수 있는가?
• RQ2 시스템 역동성의 희소성은 고차원 시스템에서 ROA 근사의 계산 복잡도를 어떻게 감소시킬 수 있는가?
• RQ3 제안된 볼록 LMI 기반 접근법은 대규모 전력 시스템에서 기존의 비볼록 이항 SOS 공식화보다 확장성과 계산 타당성 측면에서 뛰어나게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 비희소 케이스와 비교해 수렴성 증명이 손실된 상황에서도, 외부 근사치가 희소 시스템에서 진짜 ROA에 얼마나 가까이 수렴하는가?
• RQ5 이 방법은 약한 결합을 가진 실제 전력 시스템 모델, 예를 들어 결합된 Van der Pol 진동자 체인에 효과적으로 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 이 방법은 약한 결합을 가진 20차원 Van der Pol 진동자 체인에 대해 유한시간 ROA의 외부 근사치를 성공적으로 계산하였으며, degree 12에서 수렴하였다.
• Degree 12에서 계산은 약 23분이 소요되었으며, 변수 선언에 11.5분, MOSEK를 사용한 SDP 해법에 10.75분이 소요되었다.
• Degree 12에서의 희소 근사치는 형태와 크기에서 밀도 있는 근사치와 거의 일치하여, 이 영역에서 희소성이 정확도를 크게 떨어뜨리지 않는다는 것을 시사한다.
• 외부 근사치는 표준 Van der Pol 진동자와 비교해 왜곡된 ROA 형태를 보이며, 약한 결합 항의 영향을 반영하고 있다.
• 이 방법은 고차원 시스템(n=20)까지 확장 가능함을 입증하였으며, 이는 기존의 모멘트-SOS 방법이 계산적으로 불가능한 영역이다.
• 결과는 향후 메쉬형 다기계 전력 시스템과 그리드-형성 컨버터를 포함한 일시적 안정성 평가에 응용될 수 있는 데 유망하다.