[논문 리뷰] Approximating the diameter of a graph

Liam Roditty, Virginia Vassilevska Williams|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 16.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 지름 D = 3h + z인 무방향 그래프의 지름을 Õ(m²⁻¹⁄⁽²ʰ⁺³⁾) 시간 내에 결정적 알고리즘으로 근사하는 방법을 제시한다. 이 알고리즘은 (2h + z)-근사값을 제공하며, 이는 이전의 Õ(m√n + n²) 방법보다 개선된 것으로, 정점의 출도 임계값과 타깃 BFS 계산을 활용한다. 또한, 보다 나은 근사값을 부분제곱 시간 내에 달성할 경우 강력한 지수시간 가설을 반박하게 되며, 강력한 증거를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we consider the fundamental problem of approximating the diameter $D$ of directed or undirected graphs. In a seminal paper, Aingworth, Chekuri, Indyk and Motwani [SIAM J. Comput. 1999] presented an algorithm that computes in $\Ot(m\sqrt n + n^2)$ time an estimate $\hat{D}$ for the diameter of an $n$-node, $m$-edge graph, such that $\lfloor 2/3 D floor \leq \hat{D} \leq D$. In this paper we present an algorithm that produces the same estimate in $\Ot(m\sqrt n)$ expected running time. We then provide strong evidence that a better approximation may be hard to obtain if we insist on an $O(m^{2-\eps})$ running time. In particular, we show that if there is some constant $\eps>0$ so that there is an algorithm for undirected unweighted graphs that runs in $O(m^{2-\eps})$ time and produces an approximation $\hat{D}$ such that $ (2/3+\eps) D \leq \hat{D} \leq D$, then SAT for CNF formulas on $n$ variables can be solved in $O^{*}((2-δ)^{n})$ time for some constant $δ>0$, and the strong exponential time hypothesis of [Impagliazzo, Paturi, Zane JCSS'01] is false. Motivated by this somewhat negative result, we study whether it is possible to obtain a better approximation for specific cases. For unweighted directed or undirected graphs, we show that if $D=3h+z$, where $h\geq 0$ and $z\in {0,1,2}$, then it is possible to report in $ ilde{O}(\min{m^{2/3} n^{4/3},m^{2-1/(2h+3)}})$ time an estimate $\hat{D}$ such that $2h+z \leq \hat{D}\leq D$, thus giving a better than 3/2 approximation whenever $z eq 0$. This is significant for constant values of $D$ which is exactly when the diameter approximation problem is hardest to solve. For the case of unweighted undirected graphs we present an $ ilde{O}(m^{2/3} n^{4/3})$ time algorithm that reports an estimate $\hat{D}$ such that $\lfloor 4D/5 floor \leq \hat{D}\leq D$.

연구 동기 및 목표

• 희소하고 무방향인 그래프의 지름을 더 빠르게 근사하는 알고리즘을 설계하는 것.
• Aingworth 등이 제안한 지름 근사 알고리즘의 Õ(m√n + n²) 실행 시간을 개선하는 것.
• 특히 부분제곱 시간 알고리즘이 3/2-근사값을 초과하는지 여부를 포함해, 효율적인 지름 근사의 한계를 조사하는 것.
• 더 나은 근사값을 부분제곱 시간 내에 달성할 경우 CNF-SAT 복잡도에 혁신적인 진전이 있음을 시사하는 조건부 하한을 제공하는 것.

제안 방법

• 정점의 출도가 Δ 이상인 고출도 정점의 집합 H를 선택하여 BFS 계산 횟수를 줄인다.
• 모든 H 소속 정점에서의 출방향 BFS와 슈퍼 소스 노드를 통한 H로의 도착 거리 계산을 O(m) 시간 내에 수행한다.
• H에서 가장 멀리 떨어진 정점 w를 선택하고, w에서의 출방향 BFS 트리를 계산하여 지름을 추정한다.
• 그 후, w의 BFS 트리에서 깊이가 제한된 정점들로부터의 도착 BFS 트리를 계산하여 추정치를 보정한다.
• BFS 계산의 비용을 H와 BFS 트리 정점에서 균형 잡기 위해 Δ = m¹⁄⁽²ʰ⁺³⁾을 사용한다.
• 최종 추정치는 모든 계산된 BFS 트리의 최대 깊이이며, 이는 지름에 대해 2h + z 이상의 하한을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무방향 그래프의 지름은 부분제곱 시간 내에 2/3D보다 더 나은 근사값으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 지름 D = 3h + z인 그래프에 대해 Õ(m²⁻¹⁄⁽²ʰ⁺³⁾) 시간 내에 (2h + z)-근사값을 제공하는 결정적 알고리즘이 존재하는가?
• RQ3 O(m²⁻ε) 시간 내에 (3/2 − ε)-근사값을 달성하는 데 있어 조건부 난이도의 한계는 무엇인가?
• RQ4 더 빠른 지름 근사 알고리즘이 존재할 경우 강력한 지수시간 가설을 반박할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 Õ(m²⁻¹⁄⁽²ʰ⁺³⁾) 평균 실행 시간 내에 작동하며, 지름 D = 3h + z인 그래프에 대해 2h + z ≤ D̂ ≤ D를 만족하는 추정치 D̂를 반환한다.
• 상수 지름 D = 3h + z에 대해 z ≠ 0일 경우, 이전 연구의 2/3D 하한을 초월하는 3/2보다 나은 근사값을 제공한다.
• 무방향 무방향 그래프에 대해 Õ(m²⁄³n⁴⁄³) 시간 내에 (4/5)D 근사값을 달성하며, 이는 이 클래스에 대해 2/3D 하한을 개선한다.
• 논문은 O(m²⁻ε) 시간 내에 무방향 무방향 그래프에 대해 (3/2 − ε)-근사값을 제공하는 알고리즘이 존재할 경우, CNF-SAT에 대해 지수시간 이하의 알고리즘이 존재하게 되며, 이는 강력한 지수시간 가설과 모순됨을 보여준다.
• Δ = m¹⁄⁽²ʰ⁺³⁾로 설정함으로써 알고리즘의 실행 시간이 Õ(m²⁻¹⁄⁽²ʰ⁺³⁾)에서 최소화되며, 이는 H에서의 BFS 비용과 BFS 트리 정점에서의 비용을 균형 잡는 데 기여한다.
• 이 방법은 결정적이며 빠른 행렬 곱셈을 필요로 하지 않아 희소 그래프에 실용적이다.