[논문 리뷰] Approximating the first $L^2$-betti number of residually finite groups

Wolfgang Lück, Denis Osin|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 22.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 생성 잔여 유한 군의 첫 번째 $L^2$-베티 수에 대한 하한을 일반적인 유한 지표 정규부분군의 첫 번째 베티 수를 사용하여 설정한다. $L^2$-베티 수는 중첩된 유한 지표 정규부분군에 대해 $b_1(N_i)/[G:N_i]$의 극한 상한보다 크거나 같음을 증명한다. 핵심 기여는 임의의 소수 $p$에 대해, 양의 첫 번째 $L^2$-베티 수를 가진 무한한 잔여 유한 $p$-군을 구성함으로써, 토르션 군과 $L^2$-불변량에 관한 오랫동안 남아있던 질문을 해결한 것이다.

ABSTRACT

We show that the first $L^2$-betti number of a finitely generated residually finite group can be estimated from below by using ordinary first betti numbers of finite index normal subgroups. As an application we construct a finitely generated infinite residually finite torsion group with positive first $L^2$-betti number.

연구 동기 및 목표

• 유한 생성 잔여 유한 군의 첫 번째 $L^2$-베티 수에 대한 하한을, 유한 지표 정규부분군의 일반적인 첫 번째 베티 수를 사용하여 설정한다.
• 모든 유한 생성 군에 대해 $L^2$-베티 수의 근사 추측이 유한 표현 군에 국한되지 않고 성립하는지 조사한다.
• 양의 첫 번째 $L^2$-베티 수를 가진 무한한 잔여 유한 토르션 군의 존재 문제를 해결한다. 이는 기하군론에서 바르트만-유형 문제의 핵심이다.
• 토르션 군에 대해서는 근사 공식 $b_1^{(2)}(G) = \lim_{i\to\infty} b_1(N_i)/[G:N_i]$ 가 일반적으로 성립하지 않음을 보여주며, 오른쪽 항은 0이지만 성립하지 않는다는 점을 밝힌다.

제안 방법

• 유한 표현 근사 $G_j$ 의 분류공간의 무한 맵핑 텔레스코프로서 $BG$ 의 콜리미트 구성, 이는 유한 표현 군의 호환되는 전지수 코어를 포함한다.
• 모든 잔여 유한 군을 포함하는 클래스 $\mathcal{G}$ 에서의 $L^2$-베티 수 근사 정리의 적용을 통해 $L^2$-homology 를 유한 $G$-CW-複체의 콜리미트와 연결한다.
• 증가하는 가상 $p$-결함도를 가지는 중첩된 프로-$p$ 완비화 $\widehat{G}_k$ 의 수열을 구성하여 $\mathrm{vd}_p(G_k) > n-1-\varepsilon$ 를 확보한다.
• 자유군 $F_n$ 의 몫군 $G_k$ 를 유도적으로 구성하며, $f_k^{p^n} = 1$ 과 같은 관계를 추가함으로써 가상 $p$-결함도를 증가시키면서도 잔여 $p$-유한성을 유지한다.
• 역극한 하에서 $L^2$-베티 수의 상반연속성 을 사용하여, 극한 군 $Q$ 에 대해 $b_1^{(2)}(Q) \geq \limsup b_1^{(2)}(\widehat{G}_k) \geq n-1-\varepsilon$ 를 유도한다.
• 핵의 단어 거리 조건을 통한 잔여 유한성 검증을 통해, 비자명 원소들이 유한 몫군에서 탐지됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 생성 잔여 유한 군의 첫 번째 $L^2$-베티 수는 유한 지표 정규부분군의 일반적인 첫 번째 베티 수를 사용해 아래에서 추정할 수 있는가?
• RQ2 근사 추측 $b_1^{(2)}(G) = \lim_{i\to\infty} b_1(N_i)/[G:N_i]$ 는 유한 표현 군에 국한되지 않고 모든 유한 생성 군에 대해 성립하는가?
• RQ3 양의 첫 번째 $L^2$-베티 수를 가진 무한한 잔여 유한 $p$-군이 존재하는가? 이는 라켄비의 자유부분군에 관한 결과의 잠재적 일반화를 반박한다.
• RQ4 우리가 오른쪽 항이 0임을 알고 있음에도 불구하고, 토르션 군에 대해 반대 부등식 $b_1^{(2)}(G) \leq \limsup b_1(N_i)/[G:N_i]$ 는 참인가?

주요 결과

• 모든 유한 생성 잔여 유한 군에 대해, 교차가 자명한 중첩된 유한 지표 정규부분군 수열에 대해 $b_1^{(2)}(G) \geq \limsup_{i\to\infty} b_1(N_i)/[G:N_i]$ 가 성립한다.
• 모든 소수 $p$ 에 대해, 임의의 $n \geq 2$ 와 $\varepsilon > 0$ 에 대해, $b_1^{(2)}(Q) \geq n-1-\varepsilon$ 를 만족하는 유한 생성 무한 잔여 유한 $p$-군 $Q$ 가 존재한다. 여기서 $n$ 은 생성자의 수이다.
• 구성된 군 $Q$ 는 토르션 $p$-군이므로, 양의 $L^2$-베티 수가 무한 토르션 군에서 발생할 수 있음을 보여주며, 이는 라켄비의 자유부분군에 관한 결과의 잠재적 일반화를 반박한다.
• 근사 군 $G_k$ 의 가상 $p$-결함도 $\mathrm{vd}_p(G_k)$ 는 적절한 관계 $f_k^{p^n} = 1$ 을 선택함으로써 $n-1$ 에 임의로 가까워질 수 있으며, 이는 $L^2$-베티 수의 하한을 보장한다.
• 역극한 하에서 $L^2$-베티 수의 상반연속성 은 극한 군 $Q$ 가 유한 표현이 아니더라도, 근사 군 $\widehat{G}_k$ 로부터 하한 $b_1^{(2)}(Q) \geq n-1-\varepsilon$ 를 상속받는다.
• 군 $Q$ 는 모든 비자명 원소가 길이 $k$ 인 단어일 경우 유한이고 $p$-유한인 몫군 $\widehat{G}_{k+1}/N_{k+1}$ 에서 탐지됨을 보장함으로써 잔여 유한성을 확보한다.