[논문 리뷰] Approximating the optimal competitive ratio for an ancient online scheduling problem

Lin Chen, Deshi Ye외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 16.

Optimization and Search Problems참고 문헌 21인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 일련의 작업이 들어오는 순서로 도착하고 실시간으로 스케줄링되어야 하는 고전적인 온라인 스케줄링 문제 $P||C_{\text{max}}$에 대해 경쟁 비율 근사 방법을 제시한다. 적대자와 온라인 알고리즘을 번갈아 가며 움직이는 계층적 그래프에서 모델링하는 새로운 게임 이론적 프레임워크를 도입함으로써, 저자들은 최적의 경쟁 비율에 대해 $ (1+\epsilon) $ 이내로 근사하는 동적 프로그래밍 방법을 설계하였으며, 기계 수 $ m $ 이 입력에 포함되어 있는 경우에도 다항 시간 성능을 달성한다. 주요 결과는 이론적 최적값에 매우 가까운 경쟁 비율을 갖는 거의 최적의 알고리즘으로, 기존 상한 1.9201과 하한 1.88 사이의 격차를 크게 좁혔다.

ABSTRACT

We consider the classical online scheduling problem P||C_{max} in which jobs are released over list and provide a nearly optimal online algorithm. More precisely, an online algorithm whose competitive ratio is at most (1+ε) times that of an optimal online algorithm could be achieved in polynomial time, where m, the number of machines, is a part of the input. It substantially improves upon the previous results by almost closing the gap between the currently best known lower bound of 1.88 (Rudin, Ph.D thesis, 2001) and the best known upper bound of 1.92 (Fleischer, Wahl, Journal of Scheduling, 2000). It has been known by folklore that an online problem could be viewed as a game between an adversary and the online player. Our approach extensively explores such a structure and builds up a completely new framework to show that, for the online over list scheduling problem, given any ε>0, there exists a uniform threshold K which is polynomial in m such that if the competitive ratio of an online algorithm is ρ<=2, then there exists a list of at most K jobs to enforce the online algorithm to achieve a competitive ratio of at least ρ-O(ε). Our approach is substantially different from that of Gunther et al. (Gunther et al., SODA 2013), in which an approximation scheme for online over time scheduling problems is given, where the number of machines is fixed. Our method could also be extended to several related online over list scheduling models.

연구 동기 및 목표

• 온라인 $P||C_{\text{max}}$ 스케줄링의 경쟁 비율에 대해 알려진 최상의 상한(1.9201)과 하한(1.88) 사이의 지속적인 격차를 좁히기.
• 기계 수 $ m $ 이 입력에 포함되어 있는 경우에도 최적 경쟁 비율에 대해 $ (1+\epsilon) $-근사하는 다항 시간 알고리즘 개발.
• 적대자와 온라인 알고리즘 간의 상호작용을 게임으로 모델링함으로써 온라인 스케줄링에 대한 새로운 프레임워크 수립, 이를 통해 절단된 시나리오에 대한 동적 프로그래밍 가능.
• 기본 $P||C_{\text{max}}$ 문제를 초월하여 일련의 작업에 대한 다른 온라인 스케줄링 모델로 이 방법을 확장하기.

제안 방법

• 적대자(작업을 공개함)와 온라인 알고리즘(작업을 할당함) 간의 두 명의 플레이어 게임으로 온라인 스케줄링 과정을 모델링하며, 작업 공개와 할당이 번갈아 가며 이루어지도록 한다.
• 모든 작업 크기를 스케일링 인자로 통합하여 일정 수의 유형으로 줄이는 스케일링 및 절단 기법을 도입함으로써, 각 기계에 대해 유한한 수의 '절단 상태'를 형성한다.
• 시스템 상태를 '절단 시나리오'로 표현한다 — 모든 기계의 절단 상태를 담은 튜플로, 서로 다른 시나리오 수는 $ m $ 에 대해 다항식이다.
• 게임의 계층적 그래프 표현을 기반으로 한 동적 프로그래밍을 통해, 적대자가 $ O(\text{poly}(m)) $ 번 이내에 승리 전략을 확보할 수 있는지 판단한다.
• 절단 시나리오의 '즉각적 근사 비율'을 정의하며, 이는 게임이 그 상태에서 종료될 경우 달성되는 경쟁 비율로, $ O(\epsilon) $ 오차 범위 내에서 계산한다.
• 제한된 인스턴스에 최적인 알고리즘 $ Al_B^* $ 와 리스트 스케줄링(LS)을 조합하여 $ Al_B^* \circ LS $ 를 구성함으로써 최종 알고리즘을 설계하며, 이는 전역적인 경쟁력을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기계 수 $ m $ 이 입력에 포함되어 있을 때, $ P||C_{\text{max}} $ 에 대해 최적 경쟁 비율에 대해 $ (1+\epsilon) $-근사하는 경쟁 비율 근사 방법을 설계할 수 있는가?
• RQ2 스케일링 및 절단 기법을 통해 온라인 스케줄링의 무한한 상태 공간을 다항식 크기의 유한한 상태 공간으로 줄일 수 있는가?
• RQ3 적대자-알고리즘 상호작용의 게임 이론적 구조가 다항 시간 내에 최적 전략을 동적 프로그래밍 기반으로 계산할 수 있도록 하는가?
• RQ4 조합된 알고리즘 $ Al_B^* \circ LS $ 의 경쟁 비율이 제한된 인스턴스에서 $ Al_B^* $ 의 경쟁 비율로 제한될 수 있는가?
• RQ5 이 새로운 프레임워크를 통해 $ P||C_{\text{max}} $ 의 알려진 상한 1.9201과 하한 1.88 사이의 격차를 효과적으로 좁힐 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 시간 복잡도 $ O(m^{\Lambda}) $ 를 갖는 $ P||C_{\text{max}} $ 에 대한 경쟁 비율 근사 방법을 달성하였으며, 여기서 $ \Lambda = 2^{O(1/\epsilon^2 \log^2(1/\epsilon))} $ 이다. 이는 임의의 고정된 $ \epsilon > 0 $ 에 대해 $ m $ 에 대해 다항식이다.
• 제안된 알고리즘의 경쟁 비율은 최적 온라인 알고리즘의 경쟁 비율에 대해 최대 $ (1+\epsilon) $ 배 이내이며, 이는 기존 상한과 하한 사이의 격차를 효과적으로 해소한다.
• 스케일링을 통한 절단 시나리오 유한 집합을 구성함으로써, 고려해야 할 서로 다른 구성 수가 $ \text{poly}(m) $ 이내로 제한되며, 이는 동적 프로그래밍 가능성을 보장한다.
• 게임 이론적 프레임워크는 적대자가 높은 경쟁 비율을 유도하기 위해 다항 수의 이동만 필요하다는 것을 증명하며, 이는 문제를 동적 프로그래밍에 적합하게 만든다.
• $ Al_B^* \circ LS $ 의 조합은 제한된 인스턴스에서 $ Al_B^* $ 와 동일한 경쟁 비율을 달성하며, 이 비율은 전역 최적 경쟁 비율 $ \rho_{Al^*} $ 와 일치한다. 이는 조합된 알고리즘이 최적임을 증명한다.
• 이 방법은 기본 $ P||C_{\text{max}} $ 문제를 초월하여 다른 온라인 일련 스케줄링 모델로도 일반화되며, 이는 본 논문의 광범위한 적용 가능성을 보여준다.