[논문 리뷰] Approximating three-dimensional Navier-Stokes equations driven by space-time white noise

Rongchan Zhu, Xiangchan Zhu|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 17.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 18인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 3차원 스토케스틱 나비에-스토크스 방정식에 공간-시간 화이트 노이즈가 작용할 경우, 파라컨트롤러드 분포 방법을 사용하여 정규화된 근사해의 수렴성을 확립한다. 근사 방정식에서 재정규화에 의해 유도된 드리프트 항을 빼내어 극한이 원래 방정식을 만족하도록 보장함으로써, 거친 노이즈로 인해 발생하는 특이성을 극복한다. 주요 기여는 스토케스틱 허더 공간에서 명시적인 수렴 속도를 포함한 엄밀한 근사 결과이다.

ABSTRACT

In this paper we study approximations to 3D Navier-Stokes (NS) equation driven by space-time white noise by paracontrolled distribution proposed in [GIP13]. A solution theory for this equation has been developed recently in [ZZ14] based on regularity structure theory and paracontrolled distribution. In order to make the approximating equation converge to 3D NS equation driven by space-time white noise, we should subtract some drift terms in approximating equations. These drift terms, which come from renormalizations in the solution theory, converge to the solution multiplied by some constant depending on approximations.

연구 동기 및 목표

• 공간-시간 화이트 노이즈에 의해 영향을 받는 3차원 스토케스틱 나비에-스토크스 방정식에 대한 정규화된 근사해의 수렴성을 확립한다.
• 공간-시간 화이트 노이즈의 거친 성질로 인해 발생하는 공간적 정규성 부족과 잘 정의되지 않은 비선형 항 문제를 다룬다.
• 재정규화 드리프트 보정이 없을 경우, 근사해의 극한이 원래 방정식을 만족하지 못함을 보여준다.
• KPZ 유형 방정식에서의 기법을 확장하여, 파라컨트롤러드 분포 프레임워크를 사용한 구체적인 근사 결과를 제공한다.
• 근사해의 수렴 속도를 스토케스틱 허더 노름에서 정량적으로 도출한다.

제안 방법

• 구빈엘리의 제어된 거친 경로와 보니의 파라프로덕트 분해를 조합한 파라컨트롤러드 분포 방법을 사용한다.
• 아니면 $ u = \pi_{<}(u', g) + u^\sharp $ 라는 가정을 사용하며, 여기서 $ \pi_{<} $ 는 특이 부분을 분리하고 $ u^\sharp $ 는 곱셈에 적합한 정도로 규칙적이다.
• 이산 라플라시안과 기울기 연산자를 사용한 근사 방정식 $ du^\varepsilon = (\nu\Delta^\varepsilon u^\varepsilon - P\sum D^\varepsilon_j(u^\varepsilon u^\varepsilon_j))dt + P dW $ 을 구성한다.
• 근사 방정식에 특정한 재정규화 드리프트 항을 도입하고 빼내어, 그렇지 않으면 극한에서 지속되는 발산을 상쇄시킨다.
• 와이너 카오스 분해에서의 확률 미적분을 적용하고, 스펙트럼 사영과 푸리에 분석을 통해 두 번째, 세 번째, 네 번째 카오스 항을 추정한다.
• 가우시안 초수축성과 모멘트 추정을 사용하여 $ L^p(\Omega; C([0,T], C^{-\delta})) $ 에서 수렴을 증명한다. 여기서 $ \delta > 0 $ 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 나비에-스토크스 방정식에 공간-시간 화이트 노이즈가 작용할 경우, 파라컨트롤러드 분포 방법을 사용하여 일관된 근사 체계를 구성할 수 있는가?
• RQ2 근사 방정식에서 진정한 해로의 수렴을 보장하기 위해 필요한 재정규화 드리프트 보정은 무엇인가?
• RQ3 근사해의 수렴 속도는 정규성과 노이즈의 구조에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 왜 표준 근사 방법은 드리프트 보정 없이 원래 방정식의 해로 수렴하지 못하는가?
• RQ5 카오스 전개 기법을 사용하여 스토케스틱 허더 공간에서의 수렴을 정량화할 수 있는가?

주요 결과

• 근사해 $ u^\varepsilon $ 의 극한은 공간-시간 화이트 노이즈에 의해 영향을 받는 3차원 스토케스틱 나비에-스토크스 방정식의 해 $ u $ 로 수렴한다.
• 재정규화에 의해 유도된 드리프트 항을 빼내지 않을 경우, 극한 $ \bar{u} $ 는 근사 방법에 따라 달라지는 추가 드리프트 항을 가진 수정된 방정식을 만족한다.
• 차이 $ u^\varepsilon - \bar{u}^\varepsilon $ 는 모든 $ \delta > 0 $ 에 대해 $ L^p(\Omega; C([0,T], C^{-\delta})) $ 에서 수렴하며, 수렴 속도는 $ \varepsilon^{\eta} $ (어떤 $ \eta > 0 $) 이다.
• 두 번째 카오스 항은 임의의 $ \rho > 0 $ 에 대해 $ |\phi^\varepsilon_2 - \bar{\phi}^\varepsilon_2| \lesssim t^{-\rho} \varepsilon^{\eta} $ 를 만족하며, 이는 가중 허더 노름에서의 수렴을 의미한다.
• 두 번째 카오스 항은 푸리에 분석과 스펙트럼 사영을 통해 추정되며, $ \| \Delta_q I^i_t \|_{L^2} \lesssim \varepsilon^{\eta} t^{\epsilon} 2^{q(2\epsilon + \eta)} $ 를 도출한다.
• 네 번째 카오스 항은 $ \| \Delta_q L^1_t \|_{L^2} \lesssim \varepsilon^{\eta} t^{\epsilon} 2^{q(2\epsilon + \eta)} $ 를 만족하며, 이는 명시적인 수렴 속도를 포함한 스토케스틱 허더 공간에서의 수렴을 확인한다.