[논문 리뷰] Approximation Algorithms for Independence and Domination on B$_1$-VPG and B$_1$-EPG Graphs

Saeed Mehrabi|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 18.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 B₁-VPG 그래프에서 최대 독립집합 문제에 대해 O(log n)-근사 알고리즘을 제시하고, 일문자 B₁-VPG 그래프에서 최소 독립집합 문제에 대해 처음으로 상수 요인 근사 알고리즘을 제시한다. 또한 B₁-EPG 그래프에서 최소 독립집합 문제의 APX-난이도를 증명하고, 두 가지 비트리비얼한 부분집합에 대해 O(1)-근사 알고리즘을 제공하여 분야 내 미해결 문제를 해결한다.

ABSTRACT

A graph $G$ is called B$_k$-VPG (resp., B$_k$-EPG), for some constant $k\geq 0$, if it has a string representation on a grid such that each vertex is an orthogonal path with at most $k$ bends and two vertices are adjacent in $G$ if and only if the corresponding strings intersect (resp., the corresponding strings share at least one grid edge). If two adjacent strings of a B$_k$-VPG graph intersect exactly once, then the graph is called a one-string B$_k$-VPG graph. In this paper, we study the Maximum Independent Set and Minimum Dominating Set problems on B$_1$-VPG and B$_1$-EPG graphs. We first give a simple $O(\log n)$-approximation algorithm for the Maximum Independent Set problem on B$_1$-VPG graphs, improving the previous $O((\log n)^2)$-approximation algorithm of Lahiri et al. (COCOA 2015). Then, we consider the Minimum Dominating Set problem. We give an $O(1)$-approximation algorithm for this problem on one-string B$_1$-VPG graphs, providing the first constant-factor approximation algorithm for this problem. Moreover, we show that the Minimum Dominating Set problem is APX-hard on B$_1$-EPG graphs, ruling out the possibility of a PTAS unless P=NP. Finally, we give constant-factor approximation algorithms for this problem on two non-trivial subclasses of B$_1$-EPG graphs. To our knowledge, these are the first results for the Minimum Dominating Set problem on B$_1$-EPG graphs, partially answering a question posed by Epstein et al. (WADS 2013).

연구 동기 및 목표

• B₁-VPG 및 B₁-EPG 그래프에서 기본적인 NP-난이도 문제인 최대 독립집합 문제와 최소 독립집합 문제에 대해 효율적인 근사 알고리즘을 개발하는 것.
• 이전의 근사 비율을 향상시켜, 특히 B₁-VPG 그래프에서 최대 독립집합 문제의 근사 비율을 O((log n)²)에서 O(log n)으로 감소시키는 것.
• 일문자 B₁-VPG 그래프에서 최소 독립집합 문제에 대해 처음으로 상수 요인 근사 알고리즘을 확립하는 것.
• B₁-EPG 그래프에서 최소 독립집합 문제의 계산 복잡도를 조사하여 APX-난이도를 입증하고 특정 부분집합에 대해 근사 알고리즘을 제공하는 것.
• Epstein 등이 제기한 B₁-EPG 그래프에서 최소 독립집합 문제에 대한 근사 알고리즘에 관한 미해결 문제에 부분적으로 답하는 것.

제안 방법

• B₁-VPG 그래프에서 최대 독립집합 문제에 대해, 경로의 총순서를 활용하여 간섭이 최소인 비겹치는 경로를 반복적으로 선택하는 근사 알고리즘을 설계한다.
• 일문자 B₁-VPG 그래프에서는 이웃 구조를 분석하고 각 최적 경로가 근사 해상에서 최대 세 개의 경로를 지배할 수 있음을 증명함으로써, 새로운 상수 요인 근사 알고리즘을 달성한다.
• B₁-EPG 그래프에서 최소 독립집합 문제의 APX-난이도를 입증하기 위해 기존의 APX-완전 문제로의 감소를 사용하여, P=NP가 아닐 경우 PTAS가 존재하지 않음을 보인다.
• B₁-EPG 그래프의 두 부분집합에 대해, 경로의 방향과 교차 구조의 구조적 제약을 활용하여 상수 요인 근사 알고리즘을 개발한다.
• 근사 비율을 유계로 유지하기 위해 기하학적 및 조합적 추론, 특히 코너 점 비교와 수직/수평 이웃 집합을 사용한다.
• 경로가 끝점에서만 접하는 퇄도한 경우를 방지하기 위해 약한 일반 위치 가정을 사용하여 교차 및 인접성 정의를 명확히 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 B₁-VPG 그래프에서 최대 독립집합 문제에 대해 O(1)-근사 알고리즘을 설계할 수 있는가, 아니면 문제는 APX-난이도인가?
• RQ2 일반 B₁-VPG 그래프에서 최소 독립집합 문제에 대해 상수 요인 근사 알고리즘이 존재하는가 (특히 일문자 사례 외에도)?
• RQ3 B₁-EPG 그래프에서 최소 독립집합 문제의 APX-난이도는 오직 한 종류의 경로(예: 수평 또는 수직 경로만)를 갖는 그래프로 제한될 경우에도 유지되는가?
• RQ4 일반 B₁-EPG 그래프에서 최소 독립집합 문제에 대해 O(1)-근사 알고리즘을 개발할 수 있는가?
• RQ5 특정 구조적 제약을 가진 부분집합인 수직 교차 B₁-EPG 그래프에서 최소 독립집합 문제는 NP-난이도인가?

주요 결과

• B₁-VPG 그래프에서 최대 독립집합 문제에 대해 O(log n)-근사 알고리즘을 제시하여 이전의 O((log n)²) 근사 비율을 향상시켰다.
• 일문자 B₁-VPG 그래프에서 최소 독립집합 문제에 대해 처음으로 상수 요인 근사 알고리즘을 개발하여 근사 비율이 3 이내임을 확보했다.
• B₁-EPG 그래프에서 최소 독립집합 문제가 APX-난이도임을 증명하여, P=NP가 아닐 경우 PTAS가 존재하지 않음을 입증했다.
• B₁-EPG 그래프의 두 비트리비얼 부분집합에 대해 근사 비율이 2와 3인 상수 요인 근사 알고리즘을 제공했다.
• 분석 결과 각 최적 경로가 근사 해상에서 최대 세 개의 경로를 지배할 수 있음을 보여, 이는 상수 요인 근사 비율 확보의 핵심 요소이다.
• Epstein 등이 제기한 B₁-EPG 그래프에서 최소 독립집합 문제에 대한 근사 알고리즘에 관한 미해결 문제에 부분적으로 답했다.